מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 106 סעיף 13

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

${\frac {9^{n}+7}{8}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {9^{n}+7}{8}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {9^{1}+7}{8}}=\mathbb {Z} \\&2=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {9^{k}+7}{8}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {9^{k+1}+7}{8}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {9^{k}*9+7}{8}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {9^{k}(8+1)+7}{8}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {9^{k}*8}{8}}+{\frac {9^{k}+7}{8}}=\mathbb {Z} \\&9^{k}+\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. הטענה השנייה נכונה כיוון ש-$\ K$ הוא מספר טבעי, כלומר שלם וחיובי.

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.