מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 105 סעיף 3

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

${\frac {n^{3}+2n}{3}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {n^{3}+2n}{3}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {1^{3}+2}{3}}=\mathbb {Z} \\&1=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {k^{2}+2k}{3}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {(k+1)^{3}+2(k+1)}{3}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {(k+1)^{3}+2(k+1)}{3}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {k^{3}+3k^{2}+3k+1+2k+2}{3}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {k^{3}+2k}{3}}+{\frac {3k^{2}+3k}{3}}+{\frac {3}{3}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {3(k^{2}+k)}{3}}+\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\&k^{2}+k=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. הטענה השנייה נכונה כיוון ש-$\ K$ הוא מספר טבעי, כלומר שלם וחיובי.

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.