1 2 − 3 2 + 5 2 − 7 2 + ⋯ + ( 2 n − 3 ) 2 − ( 2 n − 1 ) 2 = − 2 n 2 {\displaystyle 1^{2}-3^{2}+5^{2}-7^{2}+\cdots +(2n-3)^{2}-(2n-1)^{2}=-2n^{2}}
L : ( 2 n − 3 ) 2 − ( 2 n − 1 ) 2 = ( 4 − 3 ) 2 − ( 4 − 1 ) 2 = 1 2 − 3 2 → 1 2 − 3 2 = − 8 R : − 2 n 2 = − 2 ∗ 2 2 = − 8 − 8 = − 8 {\displaystyle {\begin{aligned}&L:(2n-3)^{2}-(2n-1)^{2}=(4-3)^{2}-(4-1)^{2}=1^{2}-3^{2}\rightarrow 1^{2}-3^{2}=-8\\&R:-2n^{2}=-2*2^{2}=-8\\&-8=-8\\\end{aligned}}}
1 2 − 3 2 + 5 2 − 7 2 + ⋯ + ( 2 k − 3 ) 2 − ( 2 k − 1 ) 2 = − 2 k 2 {\displaystyle 1^{2}-3^{2}+5^{2}-7^{2}+\cdots +(2k-3)^{2}-(2k-1)^{2}=-2k^{2}}
1 2 − 3 2 + 5 2 − 7 2 + ⋯ + ( 2 k − 3 ) 2 − ( 2 k − 1 ) 2 ⏟ = − 2 k 2 + ( 2 k + 1 ) 2 − ( 2 k + 3 ) 2 = − 2 ( k + 2 ) 2 − 2 k 2 + ( 2 k + 1 ) 2 − ( 2 k + 3 ) 2 = − 2 ( k + 2 ) 2 − 2 k 2 + 4 k 2 + 4 k + 1 − 4 k 2 − 12 k 99 = − 2 k 2 − 8 k − 8 − 2 k 2 − 8 k − 8 = − 2 k 2 − 8 k − 8 0 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\underbrace {1^{2}-3^{2}+5^{2}-7^{2}+\cdots +(2k-3)^{2}-(2k-1)^{2}} _{=-2k^{2}}+(2k+1)^{2}-(2k+3)^{2}=-2(k+2)^{2}\\&-2k^{2}+(2k+1)^{2}-(2k+3)^{2}=-2(k+2)^{2}\\&-2k^{2}+4k^{2}+4k+1-4k^{2}-12k99=-2k^{2}-8k-8\\&-2k^{2}-8k-8=-2k^{2}-8k-8\\&0=0\\\end{aligned}}}
הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.
טבעי
