מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/גיאומטריה של המישור (מהדורה מורחבת)/עמוד 310 סעיף 35

המשולש $ABC$ הוא שווה שוקיים ($AB=AC$) . השוק $AB$ חותכת את המעגל בנקודה $D$ והמשכה חותך אותו בנקודה $E$. השוק $AC$ משיקה למעגל בנקודה $C$.

1. הוכח:$\Delta ADC\sim \Delta ACE$
2. נתון: CD התיכון לשוק AB במשולש ABC . נסמן AC ב-b. הבע באמצעות b את המיתר DE
3. . הוכח : SDCE=3SADC

סעיף א

1. $\angle ACE=\angle DCA$ (הזווית בין משיק למיתר הנחתכים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני)
2. $A=A$ (זווית משותפת)

$\Delta ADC\sim \Delta ACE$ המשולשים דומים ז.ז

סעיף ב

על פי הדימיון: ${\frac {b}{DE+0.5b}}={\frac {0.5b}{b}}$

נקבל : $0.5DE+0.25b=b$

כלומר: $DE=1.5b$

סעיף ג

מ-הנקודה C נוריד ל-AE (נסמן אותו ב-h):

${\begin{aligned}SADC={\frac {h*0.5b}{2}}={\frac {hb}{4}}\\SEDC={\frac {1.5hb}{2}}={\frac {3hb}{4}}\\{\frac {SEDC}{SADC}}={\frac {3hb}{4}}:{\frac {hb}{4}}={\frac {3hb}{4}}*{\frac {4}{hb}}=3\\3SADC=SEDC\end{aligned}}$