מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/שאלון ה/מבנה הבחינה
משך הבחינה: שעתיים.
מבנה הבחינה[עריכה]
- פרק א': אלגברה וסדרות
שאלה אחת מתוך שתיים
- פרק ב': גיאומטריה והסתברות (הסתברות קלאסית או חשיבה הסתברותית).
שתי שאלות מתוך שלוש ( שימו לב, תלמיד יכול לענות רק על שאלות בהסתברות קלאסית או רק על שאלות בחשיבה הסתברותית, ולא על שאלות משני הנושאים).
פרקים רלוונטים[עריכה]
- אלגברה (משוואות ואי-שוויונות): אי שוויונות, נוסחאות ויאטה , פירוק לגורמים, משוואות ומערכות, משוואות עם פרמטרים, משוואות הנפתרות על ידי הצבה (כמו משוואה דו ריבועית), משוואות אי-רציונליות.
- אלגברה- סדרות: חשבונית, הנדסית סופית ואינסופית, סדרות מעורבות, הגדרות ברקורסיה לסדרות מסוגים שונים.
- גיאומטריה: שימוש במשפטי החפיפה ובמשפטי הדמיון, תכונות של משולשים, מרובעים ומעגל להוכחת בעיות ומשפטים.
- הסתברות: חשיבה הסתברותית בחיי יום יום או הסתברות "קלאסית"
נושאים לשאלון 005[עריכה]
טכניקה אלגברית[עריכה]
- פירוק לגורמים: על ידי הוצאת גורם משותף, על פי נוסחאות הכפל המקוצר. פירוק הטרינום (אפשר על ידי פתרון המשוואה הריבועית המתאימה). שימושי הפירוק לגורמים לפעולות חשבון בשברים אלגבריים, לפתרון משוואות ואי-שוויונים.
- פתרון משוואות ממעלה ראשונה ושנייה עם פרמטרים.
- מערכת משוואות ליניאריות עם שני משתנים ופרמטר אחד או שניים, הקשר בין ערכי הפרמטר לבין מספר הפתרונות (פתרון יחיד, אינסוף פתרונות, אף פתרון). המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות.
- מערכת משוואות ממעלה שנייה, לכל היותר, עם פרמטרים. לא תידרש חקירת מערכת משוואות ששתיהן ממעלה שנייה (מספר הפתרונות וכד').
- משוואות הנפתרות על ידי הצבה (כמו משוואה דו-ריבועית). משוואות אי-רציונליות.
- אי-שוויונים ממעלה ראשונה. אי שוויונים ממעלה שנייה עם או בלי פרמטר. (לדוגמה יכול להידרש פתרון לשאלה: הם ערכי הפרמטר עבורם הפונקציה שלילית / חיובית, או מעל/מתחת לישר מסוים).
- נוסחאות ויאטה (רק בהקשר של סימני השורשים).
- אי-שוויונים רציונליים ללא פרמטרים – אי שוויונים שמהם ניתן להגיע לאי-שוויונים מהצורה כאשר f(x) ו/אוg(x) הם פולינומים ממעלה שנייה, לכל היותר.
סדרות[עריכה]
סדרות כלליות לפי מקום ולפי נוסחת נסיגה. סדרה חשבונית (כולל הגדרה לפי נוסחת נסיגה) – איבר כללי, סכום. סדרה הנדסית סופית ואינסופית (כולל הגדרה לפי נוסחת נסיגה) – איבר כללי, סכום. שברים מחזוריים, סדרות מעורבות.
גיאומטריה אוקלידית[עריכה]
חפיפת משולשים (4 משפטים). משפטים והוכחות: תכונות של משולשים, מרובעים, האנך האמצעי וחוצה זווית כמקומות גיאומטריים, תכונות המעגל. משפט פיתגורס. דמיון: פרופורציה בין קטעים. המשפט: שלושה ישרים מקבילים החותכים זווית יוצרים קטעים פרופורציוניים (ללא הוכחה מלאה) חלוקת קטע ביחס נתון, חלוקה פנימית וחלוקה חיצונית. משפט חוצה הזווית. (זווית פנימית וזווית חיצונית). דמיון מצולעים (הגדרה). שלושת משפטי הדמיון של משולשים (לא תידרשנה הוכחות המשפטים). היחס במשולשים דומים בין היקפים, תיכונים, חוצי זווית, גבהים ורדיוסי מעגלים חוסמים ומעגלים חסומים. היחס בין שטחי משולשים דומים. היחס בין היקפים והיחס בין שטחים במצולעים דומים (לא תידרש הוכחה) קטעים פרופורציוניים במשולש ישר זווית. משפטים: הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים לו. הגובה ליתר הוא ממוצע גיאומטרי של היטלי הניצבים על היתר. הניצב הוא ממוצע גיאומטרי של היתר והיטל הניצב על היתר. קטעים פרופורציוניים במעגל. מיתרים נחתכים במעגל. חותך ומשיק מנקודה חיצונית, שני חותכים היוצאים מנקודה חיצונית למעגל. הערה: שאלות בגיאומטריה אוקלידית יש להוכיח בשיטות של גיאומטריה אוקלידית בלבד.
הסתברות[עריכה]
א. הסתברות קלאסית: אקראיות, מרחב הסתברות סופי, חוקי ההסתברות, מאורעות בלתי תלויים, מאורעות תלויים, הסתברות מותנית, נוסחת בייס ,מרחב דו-שלבי ותלת שלבי (טבלאות ועצים). התפלגות בינומית (נוסחת ברנולי). הערה: יש ללמד קומבינטוריקה רק לצורכי ההתפלגות הבינומית. ב. חשיבה הסתברותית בחיי היום יום: מיונים ולוחות, חוקי הפרופורציות, פרופורציה מותנית ונוסחת בייס, קשר סטטיסטי וקשר סיבתי, שיפוט על פי יציגות.