מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/זהויות/שימוש בזהויות

הקדמה

על אף שיש בידינו את רשימת הזהויות, רובנו נמצא עצמנו משותקים מול תרגילים עם זהויות, מסיבה פשוטה - אין בידינו כלי פשוט לפתרון שאלות בנושא זהויות, שאלות הוכחה. בדרך-כלל, אנו לומדים כלים באמצעות פתירת שאלות, אולם, מה קורה כאשר אנו נתקלים בתרגיל ולא יודעים לפתור אותו? לרוב, בשלב מסוים נכנעים ומדלגים את הנושא. לכן, בפרק זה נציג כלים שונים לפתירת תרגילי הוכחה שבבסיסם אינם קשים.

הרכבת זהות

עד כמה שזה "ברור", לא לכולם ברור (ואם ברור אז איך?) ולכן, נציג במפורש איך להציב פונקציה בזהות. רשימת הזהויות מציגה בפנינו הצבה של פונקציה טריגונומטרית כאשר הזוית היא זוית $\alpha$ (או נעלם אחר), מה קורה כאשר אנו רוצים להציב את הפונקציה $\sin(90^{\circ }-x)$ ולא דווקא $\sin(x)$ בזהות, למשל, $\sin(\alpha )=\sin(180^{\circ }-\alpha )$ ? במקרים כאלה נתייחס אל הזוית הפנימית כאל נעלם יחיד, במילים אחרות (שמו לב לסימונים, אלפא זו הזוית בזהות, איקס זהו הזוית אותה אנו רוצים למצוא):

${\begin{aligned}&\sin \underbrace {(90^{\circ }-x)} _{\alpha }\\&\color {blue}\sin(\alpha )=\sin(180^{\circ }-\alpha )\\&\sin(x)=\sin {\bigl (}180^{\circ }-\underbrace {(90^{\circ }-x)} _{\alpha }{\bigr )}\\&\sin(x)=\sin(180^{\circ }-90^{\circ }+x)\\&\sin(x)=\sin(90^{\circ }+x)\\\end{aligned}}$

דוגמה 1: הצבה בתוך זהות מכאן שעבור הזהות: $\sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )$ (הצבה בזהות סכום זויות/מחצית זוית) ${\begin{aligned}&\sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )\\&\sin(4\alpha )=2\sin(2\alpha )\cdot \cos(2\alpha )\\&\sin(6\alpha )=2\sin(3\alpha )\cdot \cos(3\alpha )\\&\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)=2\sin \left({\frac {\alpha }{4}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha }{4}}\right)\\\end{aligned}}$

דוגמה 2: הצבה בתוך זהות עבור הזהות: $\cos(2\alpha )=cos^{2}(\alpha )-sin^{2}(\alpha )$ ${\begin{aligned}&\cos(2\alpha )=\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )\\&\cos(4\alpha )=\cos ^{2}(2\alpha )-\sin ^{2}(2\alpha )\\&\cos(6\alpha )=\cos ^{2}(3\alpha )-\sin ^{2}(3\alpha )\\&\cos(\alpha )=\cos ^{2}\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)-\sin ^{2}\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\\\end{aligned}}$

הוכחת זהויות

תוכלו לראות שימוש נוסף בזהויות גם בחקירת פונקציות טריגונומטריות וכן במשוואות טריגונומטריות.

פישוט

כדי לפשט עלינו לשאול לאיזה מצב אנו רוצים להגיע? איזו זהות?

תמיד נעדיף פישוט ופיתוח של צד אחד במשוואה (בכדי שנוכל לשאוף ולהגיע לצידו השני של המשוואה) מאשר פיתוח של שני צדי המשוואה או העברת אגפים.

העברת אגפים וכינוס אברים

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

לעיתים, כאשר מדובר בערכים גבוהים, נעביר אגפים ורק לאחר מכן נפשט את צדו האחד של המשוואה.

הצבה

לעיתים כאשר מדובר בערבוב של פונקציות $sin,tan,cos$ נציב ונפתח את שתי המשוואות.

דוגמה 1: הצבת זהות בהוכחה ${\begin{aligned}&1-{\frac {sin^{2}\alpha }{tan^{2}\alpha }}=cos^{2}\alpha *tan^{2}\alpha \\&&tan^{2}={\frac {sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }}\\&1-{\frac {sin^{2}\alpha }{\frac {sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }}}=cos^{2}\alpha *{\frac {sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }}\\&1-cos^{2}\alpha =sin^{2}\alpha \\&&cos^{2}\alpha =1-sin^{2}\alpha \\&sin^{2}\alpha =sin^{2}\alpha \end{aligned}}$

הכפלת אגפים

ניתן להכפיל ולצמצם אגפים בעת הוכחת זהות (רק כאשר הביטוי שונה מאפס).

דוגמה 1: הכפלת אגפים ${\begin{aligned}&{\frac {cos\alpha }{1-sin\alpha }}={\frac {1+sin\alpha }{cos\alpha }}\\&{\frac {cos\alpha }{1-sin\alpha }}/*cos\alpha \\&{\frac {cos\alpha *cos\alpha }{1-sin\alpha *cos\alpha }}\\&&cos^{2}\alpha =1-sin^{2}\\&{\frac {1-sin^{2}\alpha }{cos\alpha (1-sin\alpha }}&{\frac {cos\alpha }{1-sin\alpha }}={\frac {1+sin\alpha }{cos\alpha }}\end{aligned}}$

כפל מקוצר

דוגמה 1: כפל מקוצר ${\begin{aligned}&sin^{4}\alpha -cos^{4}\alpha =sin^{2}\alpha -cos^{2}\alpha \\&&a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\\&(sin^{2}\alpha -cos^{2}\alpha )(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )\\&&sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1\\\end{aligned}}$

מכנה משותף

דוגמה 1: הכפלת אגפים

איזה זהות מתאימה

1. כאשר אנו רואים בזהות מכנה נעזר או בזהויות עם מכנים או בהכפלת האגף.
2. נעדיף להשתמש בזהויות עם אותו גודל זווית. לדוגמה, אם יש לנו $\sin(2x)+\sin(4x)$ נעביר את כל הפונקציות במשוואה לאחד מהסוגים הבאים (בהתאם לפונקציה האפשרית: $\sin(2x),\sin(4x),\sin(x)$)

• אותו מספר חזקה - פרט למקרים בהם אפשר להוציא גורם משותף וכדומה.

1. מקרים בהם צריך למצוא את ערכה של זהות באמצעותה של זהות אחרת נעזר בזהויות :
   • זהות $\cos ^{2}(\alpha )+\sin ^{2}(\alpha )=1$, למשל, מציאת ערך הפונקציה $\cos$ כאשר $\sin(\alpha )={\frac {3}{5}}$.
   • זהות מעבר, בדרך כלל כאשר בתרגיל יש שתי פונקציות שונות, בחזקות שונות., למשל, $\sin ^{2}(x)+\sin(x)\cdot \cos(x)-2\cos ^{2}(x)$