מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/קטעים מיוחדים במשולש

משוואת התיכון

בהינתן קודקוד שממנו יוצא התיכון ששיעוריו $(x_{1},y_{1})$ וקודקודי הצלע שאליה התיכון מגיע ששיעוריהם $(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ משוואת התיכון לצלע הזאת היא $y={\frac {{y}_{2}+{y}_{3}-2{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{3}-2{x}_{1}}}x-{\frac {{y}_{2}+{y}_{3}-2{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{3}-2{x}_{1}}}{x}_{1}+{y}_{1}$

הוכחה

שיעורי אמצע הקטע הם $({x_{2}+x_{3} \over 2},{y_{2}+y_{3} \over 2})$ ולכן שיפוע הישר העובר דרך שתי הנקודות הוא $m={\frac {{y}_{2}+{y}_{3}-2{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{3}-2{x}_{1}}}$ ונציב בנוסחה למשוואת הישר בשיפוע ונקודה $y={\frac {{y}_{2}+{y}_{3}-2{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{3}-2{x}_{1}}}x-{\frac {{y}_{2}+{y}_{3}-2{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{3}-2{x}_{1}}}{x}_{1}+{y}_{1}$

משוואת הגובה

בהינתן קודקוד שממנו יוצא הגובה ששיעוריו $(x_{1},y_{1})$ וצלע a מולו ששיעורי קודקודיה $(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ משוואת הגובה h לצלע a היא $y={\frac {{x}_{2}-{x}_{3}}{{y}_{3}-{y}_{2}}}x-{\frac {{x}_{2}{x}_{1}-{x}_{3}{x}_{1}}{{y}_{3}-{y}_{2}}}+{y}_{1}$

הוכחה

שיפוע הצלע השלישית הוא ${m}_{a}={\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}$ ולכן שיפוע הגובה הוא ${m}_{h}={\frac {x_{2}-x_{3}}{y_{3}-y_{2}}}$ והוא עובר דרך הקודקוד שממנו הוא יוצא ולכן המשוואה $y={m}_{h}\left(x-{x}_{1}\right)+{y}_{1}={\frac {{x}_{2}-{x}_{3}}{{y}_{3}-{y}_{2}}}x-{\frac {{x}_{2}{x}_{1}-{x}_{3}{x}_{1}}{{y}_{3}-{y}_{2}}}+{y}_{1}$

משוואת חוצה הזווית

הוכחה

נסמן $D={\sqrt {\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}}$