מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/מרחק נקודה מישר

המרחק של נקודה $(x_{0},y_{0})$ מישר $l:Ax+By+C=0$ הוא גודל האנך המחבר את הנקודה לישר : $d={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$

במידה ומשוואת הישר הינה מפורשת $y=mx+n$ המרחק בין הישר לנקודה $(x_{0},y_{0})$ הינו $d={\frac {|-mx_{0}+y_{0}-n|}{\sqrt {m^{2}+1}}}$. אין צורך לזכור את הנוסחה הזו מאחר שניתן להגיע אליה באמצעות הפיכת המשוואה המפורשת $y=mx+n$ לכללית $y-mx-n=0$.

דוגמה 1: מציאת מרחק בין ישר לנקודה משוואה מפורשת מצא את מרחקה של הנקודה $(6,-4)$ מהישר $y=2x+6$. המשוואה הכללית של הישר הינה $y-2x-6=0$. נציב בנוסחה את המשוואה הכללית והמקדמים : $d={\frac {|y-2x-6|}{\sqrt {(-2)^{2}+(1)^{2}}}}$ נציב בנוסחה את הנקודה $(6,-4)$ ונקבל את מרחק הנקודה מהישר: $d={\frac {|-4-2*6-6|}{\sqrt {(-2)^{2}+(1)^{2}}}}={\frac {22}{\sqrt {5}}}$

הוכחה

נעביר דרך הנקודה $(x_{0},y_{0})$ ישר $l1$ המקביל לישר שלנו $l:Ax+By+C=0$ (על מנת להוריד אנך בין שני הישירים).

במידה ומשוואת הישר היא מפורשת $y=mx+n$ מרחק הישר מהנקודה

נמצא את שיפוע הישר החדש $l1$: מאחר ששני הישירים מקבילים זה לזה השיפועים שלהם זהים.

נמצא את השיפוע לישר $l$ באמצעות מציאת המשוואה המפורשת של $Ax+By+C=0$. נעביר את אגפים ונקבל $y+C={\frac {-A}{B}}x+C$

נמצא משוואת הישר החדש באמצעות השיפוע והנקודה $(x_{0},y_{0})$ דרכה הוא עובר ונקבל $l_{1}:y-y_{0}=-{\frac {A}{B}}(x-x_{0})$

נמצא את משוואת הישר החדש הכללית :

${\begin{aligned}l_{1}:y-y_{0}=-{\frac {A}{B}}(x-x_{0})\\By-By_{0}=-Ax+Ax_{0}\\Ax+By-(Ax_{0}+By_{0})=0\\\end{aligned}}$

נמצא את המרחק בין שני ישרים ונקבל $d={\frac {|-(Ax_{0}+By_{0})-C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$