מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפט פיתגורס

הוכחת משפט פיתגורס

תארו לעצמכם ריבוע קטן בתוך ריבוע גדול. הריבוע הקטן מוטה כך שכל קודקודיו נוגעים בצלעות הריבוע הגדול.

(ראו תמונה)

אנו נוכיח שהמשולשים שנוצרו חופפים, וידוע לנו שהם ישרי-זויות. אנו נציב את ערכי הניצבים כ- $a$ ו- $b$ , ואת ערך היתר $c$ . בסוף נגיע ע"י אלגברה לביטוי $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ .

נוכיח שהמשולשים החיצוניים שנוצרו חופפים: ניקח את אחת מנק החיבור. אנו יודעים שהזוית האמצעית שווה לתשעים מעלות כי היא זוית של הריבוע הקטן. נסמן ב- $\alpha$ את הזוית מצד אחד של הזוית האמצעית. לאחר חישוב מהיר נגיע לכך שהזוית מהצד השני שווה $90^{\circ }-\alpha$

$\beta =180^{\circ }-90^{\circ }-\alpha =90^{\circ }-\alpha$

נסתכל על המשולש שבתוכו נמצאת הזוית האחרונה שמצאנו, $90^{\circ }-\alpha$

אנו יודעים שהזוית של הריבוע הגדול שווה 90° מעלות, ובחישוב מהיר נוסף נגיע לכך שהזוית השלישית במשולש זה שווה $\alpha$ .

$\gamma =180^{\circ }-90^{\circ }-(90^{\circ }-\alpha )=\alpha$ אנו יודעים שהזוית הצמודה לזוית זו שווה תשעים מעלות גם כן (זוית של הריבוע הקטן).

ניתן לחזור על הפעולות לעיל עד שמוכיחים שכל המשלושים חופפים, מכיון שאנו יודעים בכל משולש את ערך שני זויות וצלע שביניהן (צלע הריבוע הקטן).

נסמן במשולשים את הניצבים באותיות $a$ ו- $b$ , ואת צלע הריבוע הקטן בתור $c$ . ניתן לראות בתמונה למעלה איך זה נראה.

כעת, צלע הריבוע הגדול שווה $a+b$ וצלע הריבוע הקטן היא $c$ .

נחשב מספר שטחים שניתן למצוא:
שטח כל משולש $S_{1}=\left({\frac {ab}{2}}\right)$

שטח הריבוע הגדול $S_{2}=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

שטח הריבוע הקטן $S_{3}=c^{2}$

נחבר את שטחי כל המשולשים: $4S_{1}=4\left({\frac {ab}{2}}\right)=2ab$

ערך זה נמצא גם במשוואה של $S_{2}$ .

נחזור לשרטוט. אם נחסיר את שטחי המשולשים מהריבוע הגדול, ע"פ השרטוט, נקבל את שטח הריבוע הקטן. לכן, נחסיר את שטח סה"כ המשולשים משטח הריבוע הגדול:

$S_{4}=a^{2}+2ab+b^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}$ . מקודם הגענו למסקנה שהביטוי שמתקבל פה, שווה לשטח הריבוע הקטן, שהוא $S_{3}=c^{2}$

לכן נשווה: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ . מש"ל.

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: משפט פיתגורס

תמונות ומדיה בוויקישיתוף: משפט פיתגורס