מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות היא התחום במתמטיקה העוסק בקבוצות ובאברים הנמצאים בתוכן. למשל, כל אחד מכם שייך לקבוצת בני האדם, החתול והכלב שייכים לקבוצת בעלי החיים וירושלים ותל אביב שייכות לקבוצת הערים.
תורת הקבוצות היא השפה המתמטית בה נשתמש כדי לתאר קבוצות מעולם היום יום וקבוצות מתמטיות מופשטות, כמו קבוצת המספרים השליליים או קבוצת המספרים הזוגיים.

קבוצה

התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף או רשימה של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה נקראים איברי הקבוצה. נהוג להציג קבוצה באמצעות סוגריים מסולסלים, שבתוכם מפורטים כל איברי הקבוצה, או מופיע כלל לפיו נוצרים כל איברי הקבוצה.
למשל, כיתה בתיכון היא קבוצה של תלמידים. מה שמגדיר את התלמידים כאברים של הכיתה שלהם על פי רשימת התלמידים של הכיתה. קבוצה יכולה להיות קבוצה סופית, כלומר קבוצה בעלת מספר מסויים של אברים (כמו למשל כל הסוכריות בעולם) או קבוצה אינסופית, כלומר קבוצה שעבור כל מספר שנבחר מספר האיברים בקבוצה גדול ממנו. דוגמא לקבוצה כזו היא קבוצת המספרים השלמים.
נהוג לסמן קבוצות באותיות לטיניות גדולות וקבוצות מיוחדות שיש להן שימושים מיוחדים, נהוג לסמן בגופן מיוחד (יוצג בהמשך).
קבוצה יכולה להיות אוסף שרירותי לחלוטין של אברים. למשל, נוכל לאגד יחד בקבוצה אחת צרצר, חמוס וחלב. הקבוצות המעניינות אותנו הן קבוצות מתמטיות ולכן נראה כיצד נהוג לסמן קבוצות במתמטיקה.
ניקח את הקבוצה שמאגדת את 1,2,3 ו-4 יחד. במקום לכתוב זאת במילים, במתמטיקה נהוג לכתוב זאת כך:

$A=\left\{1,2,3,4\right\}$

באותה הזדמנות גם סימנו את הקבוצה הזו באות הלטינית $\;A$. בקבוצה לא יתכן שאותו איבר יחזור פעמיים. כך למשל,

$A=\left\{1,1,2,3,4\right\}=\left\{1,2,3,4\right\}$

כמו-כן, אין בקבוצה (בניגוד לסדרה) משמעות לסדר שבו כותבים את האברים. גם אם אחד גדול מהשני, המיקום שלהם בכתיבה אינו בעל משמעות כלל. כך למשל,

$A=\left\{4,3,1,2\right\}=\left\{1,2,3,4\right\}$

לעיתים נרצה לכתוב קבוצה גדולה אשר אין לנו סיבה טובה לכתוב באופן מפורש. למשל, קבוצת המספרים השלמים מ-1 עד 101. במקרה זה נכתוב זאת כך:

$A=\left\{1,2,\dots ,101\right\}$

שימו לב לסימון של $\dots$ (שלוש נקודות). סימון זה אומר שעל הקורא לחשוב לבד מה אמור להיות במקום הנקודות על פי הכלל שכתוב בהתחלה. במקרים בהם הכלל לא ברור מאליו יהיה כתוב מה הכלל בתוך הסוגרים.
במידה ונרצה לסמן קבוצה שמכילה את כל המספרים הממשיים שגדולים מ-5 נכתוב:

$A=\left\{x\left|x>5\right.\right\}$

לעיתים נרצה להדגיש ש-$\;x$ הוא מספר ממשי, ואז נכתוב ש-

$A=\left\{x\in {\mathbb {R} }\left|x>5\right.\right\}$

במקרה שלנו, בקבוצה $\;A$ יש את כל המספרים הממשיים שגדולים מ-5.
או במילים: "$\;A$ היא קבוצת כל המספרים הממשיים שגדולים מ-5". לעיתים כותבים את הכלל במילים בתוך הסוגריים המסולסלים.

סימונים

סימן היחס הבסיסי ביותר בתורת הקבוצות הוא סימן השייכות. הסימן שייך הוא הסימן $\in$ כאשר בצד ימין תהיה הקבוצה ובצד שמאל יהיה האיבר. הפסוק יהיה אמיתי אם באמת מה שכתוב בצד שמאל הוא איבר בקבוצה שכתובה בצד ימין. בקבוצה שהגדרנו מקודם, $A=\left\{1,2,3,4\right\}$, מתקיים ש-3 הוא אבר בקבוצה. את זה ניתן לכתוב כך:

$3\in A$

זהו פסוק אמת. לעומת זאת המספר 6 אינו איבר ב-$\;A$ ולכן הפסוק

$6\in A$

איננו אמת, והסימון לכך הוא

$6\not \in A$

כלומר $6\not \in A$ הוא כן פסוק אמת.

קבוצות מיוחדות

קיימות קבוצות מיוחדות במתמטיקה, למשל קבוצת המספרים הטבעיים, ויש להן סימונים מיוחדים. קבוצת המספרים הטבעיים מסומנת באות המיוחדת $\mathbb {N}$ ואילו קבוצת על המספרים הממשיים (כלומר כל המספרים כולל שליליים, שורשים וכו') מסומנת באות המיוחדת $\mathbb {R}$. אם אנו כותבים למשל ש-$x\in \mathbb {R}$ אז למעשה אנו אומרים ש-$\;x$ הוא מספר ממשי. אם אנו כותבים ש-$k\in \mathbb {N}$ אז אנו אומרים ש-$\;k$ הוא מספר טבעי.
ישנה קבוצה מיוחדת נוספת אשר נקראת הקבוצה הריקה. היא מסומנת באות היוונית פי ($\emptyset$). לקבוצה זו אין אף איבר. לכן האמירה $x\in \emptyset$ היא סתירה. נזכיר שוב שקבוצת המספרים הטבעיים היא קבוצת כל המספרים השלמים הגדולים מ-0 (ישנם המכלילים את 0 בקבוצה אולם בספר זה לא נעשה זאת). כלומר בסימון מתמטי:

$\mathbb {N} =\left\{1,2,\dots \right\}$

נגדיר באופן מדוייק למה הכוונה בסימן שוויון בפרק הבא.

הפרק הקודם: קבוצות ותחומים (מבוא)

בסיס תרגילים

הפרק הבא: הכלה ושוויון