מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
סדרה חשבונית היא רצף של מספרים (
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
.
.
.
{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}...}
הפרש (
d
{\displaystyle d}
קבוע. למשל:
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle 1,2,3,\dots }
a
1
{\displaystyle a_{1}}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
4
,
4
,
4
,
…
{\displaystyle 4,4,4,\dots }
a
1
{\displaystyle a_{1}}
4
{\displaystyle 4}
2
,
5
,
8
,
…
{\displaystyle 2,5,8,\dots }
a
1
{\displaystyle a_{1}}
2
{\displaystyle 2}
סדרה עולה - סדרה לה הפרש חיובי.
סדרה יורדת - סדרה לה הפרש שלילי. בשל הגדרת הסדרה החשבונית נוכל לבטא את רצף האיברים גם כך:
a
3
=
a
1
+
2
d
{\displaystyle a_{3}=a_{1}+2d}
a
4
=
a
1
+
3
d
{\displaystyle a_{4}=a_{1}+3d}
a
2
=
a
1
+
d
{\displaystyle a_{2}=a_{1}+d}
כל אברי הסדרה, פרט לראשון שווים לממוצע של שני האברים הסמוכים לו, למשל אם נחשב את האיבר השני בדומה הראשונה לעיל נבצע
a
1
+
a
3
2
{\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{3}}{2}}}
1
+
3
2
=
4
2
=
2
{\displaystyle {\frac {1+3}{2}}={\frac {4}{2}}=2}
"האיבר הכללי" הוא למעשה תבנית שבאמצעותה ניתן לגלות את מספרי הסדרה על ידי הצבה מיקום המספר (
n
{\displaystyle n}
המבוקש בסדרה (דהיינו אם הוא
a
1
{\displaystyle a_{1}}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
נוסחת האיבר הכללי:
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
הוכחה )
לפי הנוסחא אם ידועים לנו
d
{\displaystyle d}
a
1
{\displaystyle a_{1}}
דוגמה 5: מציאת סדרה חשבונית
מצא לאלו ערכי
x
{\displaystyle x}
x
2
,
2
x
,
4
{\displaystyle x^{2},2x,4}
שתי דרכים לפתרון התרגיל באמצעות:
ממוצע של אברים כפי שהוסבר בראשית האיבר האמצעי שווה לממוצע של האיבר לפניו ואחריו.
מציאת הפרש של אברים. נפתור באמצעות הדרך השנייה כלומר
2
x
−
x
2
=
d
{\displaystyle 2x-x^{2}=d}
4
−
2
x
=
d
{\displaystyle 4-2x=d}
נשווה את המשוואות ונקבל
4
−
2
x
=
2
x
−
x
2
{\displaystyle 4-2x=2x-x^{2}}
נצמצם
x
2
−
4
x
+
4
=
0
{\displaystyle x^{2}-4x+4=0}
(
x
−
2
)
2
=
0
{\displaystyle (x-2)^{2}=0}
x
=
2
{\displaystyle x=2}
נציב את הפתרון ונקבל את הסדרה:
4
,
4
,
4...
{\displaystyle 4,4,4...}
נוסחת נסיגה היא נוסחה שמגדירה סדרת איברים באופן רקורסיבי, לדוגמה בסדרה חשבונית
F
n
+
1
=
F
n
+
F
n
−
1
{\displaystyle \ F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}}
דוגמה 4: מציאת נוסחת הנסיגה
נתונה הנוסחה הכללית לסדרה
a
n
=
2
n
+
2
{\displaystyle an=2n+2}
d
=
2
{\displaystyle d=2}
a
n
+
1
=
a
n
+
2
{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+2}
דוגמה 5: הוכחת סדרה כחשבונית
האיבר הכללי של סדרה הוא
a
n
=
2
n
+
2
{\displaystyle a_{n}=2n+2}
בכדי להוכיח כי סדרה היא חשבונית עלינו להוכיח כי ההפרש בין איברי הוא קבוע דהינו
a
n
−
a
n
−
1
=
d
{\displaystyle a_{n}-a_{n-1}=d}
נמצא את
a
n
−
1
=
2
(
n
−
1
)
+
2
=
2
n
{\displaystyle a_{n-1}=2(n-1)+2=2n}
עתה נבדוק האם ההפרש בין הנוסחה הכללית לאיבר הקודם היא קבוע:
a
n
−
a
n
−
1
=
2
n
+
2
−
2
n
=
2
{\displaystyle a_{n}-a_{n-1}=2n+2-2n=2}
תרגיל
מצא כמה מספרים טבעיים תלת ספרתיים אינם מתחלקים ב-11 ללא שארית
נושא
סדרות - מספר טבעי
פתרונות
ההפרש בין האיברים הוא 11
המספר התלת ספרתי הראשון שמתחלק ב-11 ללא שארית הוא
a
1
=
110
{\displaystyle a_{1}=110}
המספר התלת ספרתי האחרון שמתחלק ב-11 ללא שארית הוא
a
n
=
990
{\displaystyle an=990}
נשתמש בנוסחה:
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
990
=
110
+
(
n
−
1
)
11
880
=
11
n
−
11
891
=
11
n
n
=
81
{\displaystyle {\begin{aligned}990=110+(n-1)11\\880=11n-11\\891=11n\\n=81\end{aligned}}}
נמצא את כמות המספרים התלת ספרתיים בין 100-999 ונקבל
a
1
=
100
,
a
n
=
990
{\displaystyle a_{1}=100,a_{n}=990}
נציב בנוסחה הכללית ונקבל
999
=
100
+
(
n
−
1
)
1
{\displaystyle 999=100+(n-1)1}
n
=
900
{\displaystyle n=900}
מאחר שישנם 900 מספרים תלת ספרתיים ויש 81 מספרים תלת ספרתיים המתחלקים ב-11 ללא שארית נקבל כי קיימים
900
−
81
=
819
{\displaystyle 900-81=819}
[ עריכה ]
תרגיל
בתרגילים הבאים מופיעים שלושה איברים סמוכים של סדרה חשבונית. מצא את x ואת האיברים
2
x
+
3
,
4
x
+
x
2
,
4
x
2
−
x
{\displaystyle 2x+3,4x+x^{2},4x^{2}-x}
נושא
סדרה - איברים סמוכים
פתרונות
סכום האיבר הנמצא בין שני אברים סמוכים הינו
a
n
+
1
=
a
n
+
a
n
+
2
2
{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+a_{n+2}}{2}}}
4
x
+
x
2
=
2
x
+
3
+
4
x
2
−
x
2
{\displaystyle 4x+x^{2}={\frac {2x+3+4x^{2}-x}{2}}}
8
x
+
2
x
2
=
2
x
+
3
+
4
x
2
−
x
{\displaystyle 8x+2x^{2}=2x+3+4x^{2}-x}
0
=
2
x
2
−
7
x
+
3
{\displaystyle 0=2x^{2}-7x+3}
7
±
49
−
4
∗
3
∗
2
2
∗
2
{\displaystyle {\frac {7\pm {\sqrt {49-4*3*2}}}{2*2}}}
7
±
5
2
∗
2
{\displaystyle {\frac {7\pm 5}{2*2}}}
x
1
,
2
=
7
±
5
2
∗
2
{\displaystyle x_{1},2={\frac {7\pm 5}{2*2}}}
x
1
=
3
,
x
2
=
1
2
{\displaystyle x_{1}=3,\ \ x_{2}={\frac {1}{2}}}
נציב ב-
2
x
+
3
,
4
x
+
x
2
,
4
x
2
−
x
{\displaystyle 2x+3,4x+x^{2},4x^{2}-x}
9
,
21
,
33
{\displaystyle 9,21,33}
4
,
2
1
4
,
1
2
{\displaystyle 4,2{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}}
[ עריכה ]
תרגיל
נתונה הסדרה החשבונית
163
,
160
,
157...
−
83
{\displaystyle 163,160,157...-83}
כמה איברים חיוביים ישנם בסדרה?
מצא את האיבר החיובי הקטן ביותר בסדרה.
כמה איברים שליליים ישנם בסדרה?
מצא את האיבר השלילי הגדול ביותר בסדרה.
נושא
סדרות
פתרונות
a
1
=
163
{\displaystyle a_{1}=163}
d
=
160
−
163
=
−
3
{\displaystyle d=160-163=-3}
עתה ברצוננו לגלות את מיקום האיבר הקטן ביותר הקרוב לאפס. בכדי לעשות זאת נניח כי ערכו של אותו איבר שווה
a
n
=
0
{\displaystyle a_{n}=0}
נציב בנוסחה הכללית :
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
0
=
163
+
(
n
−
1
)
−
3
{\displaystyle 0=163+(n-1)-3}
0
=
163
−
3
n
+
3
{\displaystyle 0=163-3n+3}
3
n
=
166
{\displaystyle 3n=166}
n
=
55
1
3
{\displaystyle n=55{\frac {1}{3}}}
דהינו מיקום האיבר הקטן ביותר הוא 55 (מיקום חייב להיות מספר טבעי). כלומר קיימים 55 איברים חיובים בסדרה.
סעיף ב': עתה נמצא את ערכו המדויק:
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
a
5
5
=
163
+
(
55
−
1
)
−
3
=
163
−
162
=
1
{\displaystyle a_{5}5=163+(55-1)-3=163-162=1}
סעיף ג': עתה נתבונן בחלק
1...
−
86
{\displaystyle 1...-86}
נחשב את מספר האיברים הקיימים בניהם על מנת למצוא כמה איברים שלילים בסדרה ולכן נתייחס אל האיבר החיובי הקטן ביותר כ-
a
1
=
1
{\displaystyle a_{1}=1}
האיבר האחרון הוא
−
86
{\displaystyle -86}
−
86
=
1
+
(
n
−
1
)
−
3
{\displaystyle -86=1+(n-1)-3}
−
86
=
1
−
3
n
+
3
{\displaystyle -86=1-3n+3}
−
90
=
−
3
n
{\displaystyle -90=-3n}
n
=
30
{\displaystyle n=30}
אבל
1
{\displaystyle 1}
סעיף ד: האיבר השלילי הגדול ביותר בסדרה הוא האיבר אחרי
1
{\displaystyle 1}
d
{\displaystyle d}
1
−
3
=
−
2
{\displaystyle 1-3=-2}
[ עריכה ] טוען את הטאבים...
תרגיל
במפעל למאווררים מכרו בכל שבוע מספר קבוע של מאוורים יותר מאשר בשבוע הקודם לו. בשלושת השבועות הראשונים מכרו 360 מאווררים. בשבוע החמישי מכרו 180 מאווררים.
כמה מאוורים מכרו בשבוע העשירי?
באיזה שבוע מכרו 400 מאווררים?
נושא
סדרות
פתרונות
כל שבוע הוא איבר בסדרה.
a
1
+
a
2
+
a
3
=
360
a
5
=
180
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}+a_{2}+a_{3}=360\\a_{5}=180\end{aligned}}}
נבטא את האיברים באמצעות האיבר הראשון
a
1
+
a
1
+
d
+
a
1
+
2
d
=
360
a
1
+
4
d
=
180
−
−
−
−
a
1
+
d
=
120
a
1
+
4
d
=
180
−
−
−
−
d
=
20
a
1
=
120
−
20
=
100
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}+a_{1}+d+a_{1}+2d=360\\a_{1}+4d=180\\----\\a_{1}+d=120\\a_{1}+4d=180\\----d=20\\a_{1}=120-20=100\\\end{aligned}}}
נמצא את האיבר העשירי
a
10
=
a
1
+
9
d
=
100
+
180
=
280
{\displaystyle a_{10}=a_{1}+9d=100+180=280}
נמצא את מקום האיבר שערכו
a
n
=
400
{\displaystyle a_{n}=400}
a
n
=
100
+
(
n
−
1
)
20
=
80
+
20
{\displaystyle an=100+(n-1)20=80+20}
נשווה ונקבל
400
=
80
+
20
n
{\displaystyle 400=80+20n}
n
=
16
{\displaystyle n=16}
1
הוסף קטגוריה מתאימה בהתאם לשם הפרק ושם הספר.
