מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/חוקיות

מבוא לספר

חוקיות הינה קביעות מסוימת בתופעה בהסדר העולם, באבע או בחברה. החוריות באה לידי ביטוי בכך שתופעה מסוימת חוזרת על עצמה לפי דגם קבוע. הדגם הקבוע יכול לבוא לידי ביטוי בתופעות מחיי היום יום . מאז ומעולם, כשהביט האדם בפלא הבריאה, נוכח לדעת שרוב התופעות מתרחשות על פי חוקיות קבועה משל: מחזור המים בטבע, עונות השנה.
מטרת האדם הייעה תה ועונדה, לגלות ולהבין את חוקי הטבע הסובבים אותו.

האנשים הבינושאם הטבע "מתנהג" על פי חוקים, כדאי שכך גם ינהגו בני האדםbכדי לקיים חברה / קהילה / מדינה מתוקנת, חייבים לחוקק תקנות וחוקים שיחייבו את כולם. תארו לעצמכם, מה היה קורה אילו לא היו חוקי תעבורה למשל? שיר: ים ים המקום המושלם לשחקתי או סתם לשבת שם סתם גנגאם סטייל

סדרה

במתמטיקה נהוג להשתמש במושג סדרה.
סדרה- היא קבוצה של פריטים מסודרים, כך שלכל פריט בסדרה יש מקום משלו (את הפריטים בסדרה רושמים משמאל לימין). הקשר בין הפריטים נקרא חוקיות הסדרה.

דוגמאות

1 נתונה סדרת המספרים: ...1,2,3,4
בקלות רבה נוכל למצוא את הקשר המתמטי בין כל שני איברים סמוכים בסדרה זו.
הקשר הוא: כמ מספר גדול מקודמו ב-1.
לכן האיבר הבא בסדרה יהיה המספר 5 כמובן.

2 יוסי צייר את המבנים הבאים, המורכבים מריבועים:

מבנה 1

מבנה 2

מבנה 3

מבנה 4
(א) כמה ריבועים בכל אחד מהמבנים?
(ב) כמה ריבועים יהיו במבנה החמישי בסדרה?
(ג) מהי החוקיות המקשרת בין מספר הריבועים בכל מבנה לבין מקומו?
(ד) האם יתכן מבנה ובו 101 ריבועים? אם כן, מהו? אם לא, מהו המבנה שיהיו בו מספר הריבועים הקרוב ביותר ל-101?
(ה) באיזה מבנה יהיו 81 ריבועים?
פתרון:
(א) במבנה 1 יש ריבוע אחד.
במבנה 2 יש 4 ריבועים.
במבנה 3 יש 9 ריבועים.
במבנה 4 יש 16 ריבועים.
(ב) במבנה החמישי יש 25 ריבועים.
(ג) אפשר לראות שהחוקיות המופיעה במבנים שבונה יוסי היא:
מספר הנקודות במבנה מתקבל על ידי המכפלה של מספר המבנה בעצמו.
למשל: במבנה הרביעי, מספר הנקודות הוא: 16=4·4
(ד) לא ייתכן מבנה שיש בו 101 ריבועים, כי לא קיים מספר שלם (טבעי)שהמכפלה שלו בעצמו תיתן תוצאה 101.
במבנה העשירי יהיו 100 ריבועים: 100= 10·10
(ה) המבנה שיש בו 81 ריבועים הוא המבנה התשיעי, כי: 81=9·9
3 נתונה סדרת המספרים הבאה: ...6, 4.5, 3, 1.5
(א) תאר במילים את חוקיות הסדרה ורשום את שני האיברים הבאים.
(ב) מה יהיה האיבר השמיני בסדרה?
(ג) האם המספר 18 הוא אחד מאיברי הסדרה? נמק.
פתרון:
(א)אנו רואים שבסדרה זו כל איבר גדול ב-1.5 מקודמו, ולכן שני האיברים הבאים יהיו:7.5 ו-9.
(ב)נראה שתי דרכים למציאת האיבר השמיני בסדרה:
דרך I:
ניתן לרשום את סדרת האיברים על פיהחוקיות שמצאנו עד שנגיע לאיבר השמיני.
נקבל: 12, 10.5, 9, 7.5, 6, 4.5, 3, 1.5
כלומר, האיבר במקום השמיני הוא 12.
דרך II :
נמצא קשר בין האיבר בסדרה ובין מקומו בסדרה.

מקום האיבר בסדרה	האיבר	הקשר בין האיבר למקומו
1	1.5	1·1.5
2	3	2·1.5
3	4.5	3·1.5
4	6	4·1.5
:	:	:
8	12	12·1.5

הערות:

• ישנן סדרות, שאפשר למצוא בין איבריהן, יותר מחוקיות אחת.
  
• קיים גם קשר בין זוגות מספרים משתי קבוצות. גם לקשר הזה אפשר לקרוא - חוקיות.