מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות בשני נעלמים או יותר

משוואות בשני נעלמים או יותר

שיטות פתרון

לאחר שלמדנו את נושא המשוואות בנעלם אחד, נותר לנו להכליל את הנושא ולעבור למשוואות ביותר מנעלם אחד. כרגיל במתמטיקה, אנו מעוניינים להגיע למצב שאנו מכירים, במקרה שלנו, מדובר במשוואה בנעלם אחד. על מנת לעשות זאת, יש לנו מספר כללים ושיטות שבהן אנו יכולים להשתמש. שיטות אלו אינן שונות בהרבה מהשיטות של פתרון משוואות בנעלם אחד.

לפני שנתחיל עלינו להגדיר כמה מושגים בסיסיים ולהדגיש את הרעיון הבסיסי של משוואות בכמה נעלמים. נגדיר ראשית ש-מערכת משוואות היא קבוצה של משוואות אשר כולן אמת. במילים אחרות מילת הקישור בניהן היא וגם.

מערכת משוואות תקרא שקולה למערכת אחרת אם לשתיהן יש בדיוק את אותם פתרונות (או אף פתרון) בו זמנית. אם למשל מערכת משוואות $A$ שקולה למערכת משוואות $B$ זה יסומן כך: $A\iff B$ ונאמר כי $A$ שקולה ל־$B$ .

שיטת ההצבה

שיטת ההצבה היא השיטה הבסיסית ביותר והשימושית ביותר. נתחיל בדוגמה:

$${\begin{cases}(I)&2x+4y=3\\(II)&3x-7y=-1\end{cases}}$$

כפי שכבר אמרנו, בשני המשוואות, $(I)$ ו$(II)$ שווים הנעלמים, כלומר - אותו $x$ בשניהם ואותו $y$ בשניהם.

בשיטת ההצבה עלינו לבודד את אחד הנעלמים, למשל את $x$ . ננסה לבודד אותו ממשואה $(I)$ . כאשר אנו עובדים על משוואה $(I)$ עלינו להדגיש זאת. ולכן נכתוב:
מתוך $(I)$ מתקבל:

$${\begin{matrix}2x+4y=3\quad /-4y\\\\2x=3-4y\quad {\Big /}\cdot {\frac {1}{2}}\\\\x={\dfrac {3-4y}{2}}\end{matrix}}$$

כעת קיבלנו את $x$ לפי $y$ כלומר קיבלנו קשר מתמטי בין שני הנעלמים. הפעולה שעשינו כרגע נקראת בידוד נעלם. במקרה זה בודדנו את $x$ . לא סיימנו מכיון שעדיין לא מצאנו מה בדיוק הערך של $y$ . על־מנת לעשות זאת עלינו להציב את $x$ במשוואה השניה במקום $x$ המקורי. נשים לב שאם נעשה זאת מיד נקבל משוואה חדשה בנעלם אחד $y$ .

$${\begin{matrix}3x-7y=-1\\\\\Downarrow \\\\3\left({\dfrac {3-4y}{2}}\right)-7y=-1\end{matrix}}$$

המעבר האחרון הוא הצבה של $x$ במשוואה השניה. כעת ניתן לפתור את המשוואה הזו ללא קושי, כי היא משוואה בנעלם אחד.

$${\begin{matrix}{\dfrac {3(3-4y)}{2}}-7y=-1\quad {\Big /}\cdot 2\\\\3(3-4y)-14y=-2\\\\9-12y-14y=-2\quad /-9\\\\-26y=-11\quad {\Big /}\cdot \left(-{\frac {1}{26}}\right)\\\\y={\frac {11}{26}}\end{matrix}}$$

וזו התשובה של נעלם אחד, כלומר קיבלנו את הערך של $y$ . כעת נציב במשוואה כלשהי את הערך של $y$ אשר חישבנו ונקבל שוב משוואה בנעלם אחד, רק שהפעם היא עבור $x$ . כיון שכבר בודדנו את $x$ לפי $y$ מספיק להציב בביטוי שקיבלנו $y={\frac {11}{26}}$ ונקבל: $$x={\frac {3-4\cdot {\frac {11}{26}}}{2}}$$ ולאחר חישוב מקבלים $x={\frac {17}{26}}$ . על-מנת לבדוק את הנכונות של הפתרון יש להציב את התוצאות במשוואות שלנו. אם מקבלים פסוק אמת בשתיהן, אנו יכולים להיות בטוחים שהתוצאה שקבלנו היא אכן פתרון.

חיבור וחיסור, כפל וחילוק משוואות

כשמופיעים לנו בשתי משוואות שני אברים דומים כדאי לעתים לחבר או לחסר את המשוואות אחת מהשניה. הפעולה הזו היא פעולה מותרת מכיוון שההנחה הבסיסית של המשוואות היא ששני אגפי המשוואה הם אותו מספר ולכן פעולה של חיבור או חיסור משוואות שקולה לחיבור או חיסור שני האגפים במספר. למשל:
נחסר $(I)-(II)$ ונקבל

$${\begin{matrix}{\begin{cases}(I)&2x+4y=3\\(II)&2x-7y=-1\end{cases}}\quad {\Big /}(I)-(II)\\\\\Updownarrow \\\\{\begin{cases}(I)&2x-2x+4y-(-7y)=3-(-1)\\(II)&2x-7y=-1\end{cases}}\\\\\Updownarrow \\\\{\begin{cases}(I)&11y=4\\(II)&2x-7y=-1\end{cases}}\end{matrix}}$$

מכאן ניתן בקלות להמשיך בשיטת ההצבה לאחר שנסיים לבודד את $y$ מתוך המשוואה הראשונה.

באותו אופן ניתן לחלק, להכפיל או לחבר משוואות. במקרה של חילוק או כפל, ברור שאסור לבצע פעולות אלו במידה ולא וידאנו ששני האגפים בהם אנו כופלים או מחלקים אינם 0. כידוע, הכפלה של משוואה ב-0 למעשה הופכת אותה לחסרת תוכן, ולכן מוסיפה פתרונות. במידה ואנו כופלים ב-0 אנו מקבלים יותר פתרונות ולכן מערכת המשוואות החדשה שתתקבל לא תהיה שקולה לקודמת. כך גם לגבי חילוק (אם כי חילוק ב-0 הופך את המשוואה לחסרת משמעות).

פעולת גאוס

פעולת גאוס ניתנה לה על שם המתמטיקאי הידוע גאוס אשר המציא אותה כחלק מאלגוריתם לפתרון וחקר של מערכות משוואות לינאריות במספר גדול של נעלמים אשר גם נושא את שמו. אין מניעה, עם זאת, להשתמש בה בכל סוג של מערכת משוואות, כל עוד היא יכולה לעזור להביא אותנו לפתרון. הפעולה טובה לצורך הבאת מערכת גדולה של משוואות לצורה של מערכת קטנה יותר וקלה יותר לפתרון.

פעולת גאוס היא פשוט הכפלה של שורה אחת (כלומר משוואה אחת) במספר קבוע, וחיבור עם משוואה אחרת. הפעולה טובה במיוחד כאשר יש לנו משוואה אחת אשר אחד הנעלמים שלה בא עם מקדם של 1 (אם כי ברור שתמיד ניתן להפוך את אחת המשוואות למשוואה שאחד המקדמים הוא 1). נדגים שימוש בפעולת גאוס על מערכת משוואות בת 3 נעלמים ו-3 משוואות.

$${\begin{matrix}{\begin{cases}(I)&x-5y+3z=4\quad /\times (-3)+(II)\\(II)&3x-7y-2z=-1\\(III)&2x-y-5z=1\end{cases}}\\\\\Updownarrow \\\\{\begin{cases}(I)&x-5y+3z=4\quad /\times (-2)+(III)\\(II)&3x-3x-7y+15y-2z-9z=-1-12\\(III)&2x-y-5z=1\end{cases}}\\\\\Updownarrow \\\\{\begin{cases}(I)&x-5y+3z=4\\(II)&8y-11z=-13\\(III)&2x-2x-y+10y-5z-6z=1-8\end{cases}}\\\\\Updownarrow \\\\{\begin{cases}(I)&x-5y+3z=4\\(II)&8y-11z=-13\\(III)&9y-11z=-7\end{cases}}\end{matrix}}$$

נשים לב שכעת, המשוואות $(II),(III)$ מהוות מערכת משוואות בשני נעלמים. אם נפתור אותה, נוכל להציב את $y,z$ במשוואה הראשונה ונקבל את הפתרון עבור $x$ ובזה נפתור את כל המערכת. כלומר, שיטה זו נועדה לפתור מערכת גדולה של משוואות לינאריות. ניתן כמובן להשתמש בה גם במצבים אחרים.

דוגמאות ומקרים מיוחדים

כעת נבקש להדגים מספר מצבים מיוחדים ודוגמאות חשובות לפתרון מערכות משוואות.

חוסר פתרון

לא תמיד קיים פתרון למשוואות בכלל, וכך גם למערכות משוואות. לעתים במהלך פתרון מערכות משוואות אנו מגיעים לסתירה. למשל, אנו עשויים להגיע למצב שבו באחת המשוואות מתקבל פסוק כמו-$1=5$ אשר בבירור הוא סתירה. מצב זה אומר, שלמערכת המשוואות שלנו אין אף פתרון. כלומר, אין אף קבוצת מספרים שניתן להציב בכל הנעלמים ולקבל שכל המשוואות הן פסוק אמת.

דוגמה

הבא נתבונן במערכת המשוואות הבאה:

$\left\{{\begin{matrix}\left(I\right)&x-3y&=&4\\\left(II\right)&2x-6y&=&-13\\\end{matrix}}\right.$

ננסה לפתור את המשוואה בשיטת גאוס. נכפול את $\left(I\right)$ ב-$\;(-2)$ ונוסיף ל-$\left(II\right)$ ונקבל

$\left\{{\begin{matrix}\left(I\right)&x-3y&=&4\\\left(II\right)&0&=&-21\\\end{matrix}}\right.$

ברור ש-$\left(II\right)$ היא סתירה, לכן אנו יכולים להסיק שלא קיים פתרון למשוואות מכיוון שהקיום של שתיהן ביחד יוצר סתירה. בהמשך נבין למה הכוונה כשאנו אומרים שהמשוואות מתקיימות "יחדיו".

אינסוף פתרונות

יתכן מצב שבו ישנם אינסוף פתרונות למערכת משוואות לינאריות. למעשה, למערכת משוואות לינאריות ישנם רק שלושה מצבים אפשריים:

• ישנו פתרון יחיד
• ישנם אינסוף פתרונות
• אין אף פתרון

אנו נדון בהרחבה במקרים אלו בפרק חקירת מערכות של משוואות לינאריות.

דוגמה

נתבונן במקרה הבא:

$\left\{{\begin{matrix}\left(I\right)&x-3y&=&4\\\left(II\right)&2x-6y&=&8\\\end{matrix}}\right.$

נבצע את אותה הפעולה שעשינו בדוגמה קודמת למקרה שבו אין אף פתרון, והרי נקבל מערכת חדשה:

$\left\{{\begin{matrix}\left(I\right)&x-3y&=&4\\\left(II\right)&0&=&0\\\end{matrix}}\right.$

מכיוון שביצענו רק פעולות מותרות, הרי ששתי המשוואות שקולות, כלומר כל פתרון של המערכת החדשה הוא פתרון של הישנה. המשוואה השניה, כפי שקל לשים לב, לא תורמת לנו כל מידע על הנעלמים, שכן היא אמת ברורה מאליה לכן ניתן למחוק אותה. נותרנו רק עם המשוואה הראשונה. מכאן די קל לראות שנוכל להציב כל ערך שנרצה ל-$\;x$. למשל נוכל להציב $\;x=4$ ונקבל משוואה חדשה על $\;y$:

$\;4-3y=4$

אם פותרים אותה מקבלים כמובן ש-$\;y=0$. נקבל פתרון שונה ל-$\;y$ לכל ערך שנציב במקום $\;x$. כל אחד מהזוגות הללו, למשל הזוג $\;x=4,\;y=0$ או בסימון המקובל $\left(4,0\right)$, הוא פתרון למערכת המקורית (בדוק!). מכיוון שניתן להציב כל ערך במקום $\;x$ ולקבל פיתרון למשוואה, אנו מסיקים שישנם אינסוף פתרונות.
למרות שמספר הפתרונות הוא אינסופי, אין זה אומר שכל זוג מספרים פותר את המערכת, זאת מכיוון שהצבה של ערך מסויים של $\;x$ מכתיבה את הערך של $\;y$. למשל הזוג $\left(4,1\right)$ הוא לא פתרון של המערכת, מכיוון שהוא יוצר סתירה במשוואה הראשונה.

מערכת משוואות לא לינאריות

מערכת משוואות ליניארית כזכור היא מערכת משוואות שבה כל המשוואות הן משוואות ליניאריות. משוואה לינארית היא כזכור משוואה אשר ניתן להביא לצורה:

$\;ax+by+\dots =c$

משוואה שאינה לינארית היא כל סוג של משוואה שאינה ניתנן להבאה לצורה הנ"ל, לדוגמה:

$\;ax^{2}+b=0$

קל לראות שפה המשתנה מופיע בחזקה שניה, ועל כן, זוהי איננה משוואה לינארית. אנו נתמקד בסעיף זה בפתרון של מערכות משוואות אשר לפחות אחת מהן איננה לינארית.
כמובן שכל הטכניקות שלמדנו עד כה למשוואות לינאריות תקפות גם כן למשוואות אי לינאריות, עם זאת קיימות טכניקות נוספות אשר ניתן להשתמש בכדי לפתור אותן.

בידוד נעלם

במקרה של משוואות לא לינאריות לעיתים קשה (אפילו בלתי אפשרי) לבודד את אחד הנעלמים. למשל:

$\left\{{\begin{matrix}\left(I\right)&xy+5y^{2}-3x&=&0\\\left(II\right)&{\sqrt {xy+3}}+{\sqrt {5}}y&=&{\sqrt {5}}\\\end{matrix}}\right.$

במקרה הזה, הנעלם $\;y$ קשור בכל מני אופנים, למשל, הוא קשור על ידי כפל ב-$\;x$ במשוואה הראשונה וקשור על ידי סימן שורש וחיבור במשוואה השניה. על מנת לפתור את מערכת המשוואות הנ"ל, עלינו למצוא דרך לבודד את אחד הנעלמים. די קל לראות שבמקרה הזה יותר קל לבודד את $\;x$ מהמשוואה הראשונה. במשוואה הראשונה:

${\begin{matrix}\\xy-5y^{2}-3x&=&0\\x\left(y-3\right)-5y^{2}&=&0\\x\left(y-3\right)&=&5y^{2}\\\end{matrix}}$

עלינו להניח ש-$\;y\neq 3$ על מנת שנוכל לחלק את המשוואה ב-$\;y-3$ ויהיה עלינו לוודא שזו אכן הנחה סבירה שאינה גוררת איבוד של פתרונות. נקבל

$\;x={\frac {5y^{2}}{y-3}}$

ואכן הצלחנו לבודד את $\;x$. את התוצאה נציב כעת במשוואה השניה ונקבל:

${\begin{matrix}{\sqrt {{\frac {5y^{2}}{y-3}}y+3}}+{\sqrt {5}}y&=&{\sqrt {5}}\\{\sqrt {{\frac {5y^{3}}{y-3}}+3}}&=&{\sqrt {5}}-{\sqrt {5}}y\ \ \ \;/\uparrow ^{2}\\{\frac {5y^{3}}{y-3}}+3&=&5\left(1-y\right)^{2}\ \ \ \;/\times \left(y-3\right)\\5y^{3}+3y-9&=&5\left(y^{2}-2y+1\right)\left(y-3\right)\\5y^{3}+3y-9&=&5\left(y^{3}-2y^{2}+y-3y^{2}+6y-3\right)\\\end{matrix}}$

את ההמשך נשאיר לקורא כתרגיל, שכן מתקבלת כאן משוואה במעלה שניה פשוטה עם הנעלם $\;y$

הפרק הקודם: משוואות כלליות בנעלם אחד

משוואות בשני נעלמים או יותר תרגילים

הפרק הבא: בעיות מילוליות