מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית

חקירת משוואה ריבועית

חקירת משוואה ריבועית הוא תחום המתבקש מיד מידיעת פתרון אי שוויונות. חקירת משוואה ריבועית זה ניתוח מתמטי של מספר הפתרונות של משוואה ריבועית הנתונה לנו, לרוב בצורה פרמטרית. החקירה מתבססת בעיקר על תכונות הדיסקרימיננטה ($\Delta$). חקירת משוואה ריבועית היא לרוב שאלה מסוג "עבור אילו ערכים של הפרמטר $m$ יש למשוואה שני פתרונות, פתרון אחד או 0 פתרונות?"

התשובה היא (במקרה של דוגמה אופיינית זו) 3 תחומים: תחום 2 פתרונות, פתרון אחד ואי־קיום פתרון.

סכימה לפתרון

במקרה של חקירת משוואה ריבועית, קשה מאוד להפתיע, והנושא הוא למעשה נושא יחסית פשוט. על כן, ניתן לכתוב סכימה פשוטה יחסית שנותנת פתרון לכל בעיה אפשרית בבחינות הבגרות. על מנת להסיר ספק, הסכימה נותנת תשובה לשאלה: "מתי יש למשוואה ריבועית נתונה 2 פתרונות, פתרון אחד או 0 פתרונות". ישנו סוג נוסף של שאלות, אותו ננסח בהמשך (ואף הוא אינו קשה כלל ועיקר). הבה נניח שיש משוואה ריבועית הנתונה (באופן הכללי ביותר) על ידי

$$ax^{2}+bx+c=0$$

אז למשוואה יש שני פתרונות אם ורק אם כל התנאים הבאים מתקיימים (כלומר, מדובר בחיתוך של קבוצות המשוואות שמקיימות אחד מהתנאים. דרך אחרת לחשוב על כך היא שבין התנאים קיים הקשר הלוגי וגם):

• $a\neq 0$ (אחרת המשוואה אינה ריבועית, אלא לינארית ולכן יש לה רק פתרון אחד או אינסוף פתרונות)
• $\;\Delta >0$ (שימו לב! זה אי-שוויון ממש)

כדאי לדעת: $\Delta =b^{2}-4ac$ היא הדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית.

למשוואה יש פתרון יחיד אם ורק אם לפחות אחד מהתנאים הבאים מתקיימים:

• $b\neq 0$ וגם $a=0$
• $a\neq 0$ וגם $\Delta =0$

למשוואה אין אף פתרון ממשי אם ורק אם לפחות אחד מהתנאים הבאים מתקיימים:

• $c\neq 0$ וגם $a=0$ וגם $b=0$
• $a\neq 0$ וגם $\Delta <0$

הבה נראה כיצד ניתן להשתמש בסכימה זו בפתרון בעיה של ממש.

אתגר: מדוע סכימה זו נכונה? תנו הסבר מתמטי מדוע כל אחד מהתנאים גורם לכך שהדרישה תתקיים, למשל מדוע הדרישה שהדיסקרימיננטה קטנה מ-0 גורמת לכך שלא יהיה פתרון.

דוגמא 1

נתונה המשוואה

$$(6-m)x^{2}+(m-3)x+1=0$$

עבור אילו ערכים של $m$ למשוואה:

• אין פתרון ממשי?
• יש רק פתרון ממשי אחד?
• יש שני פתרונות ממשיים?

פתרון

נפתור שוב בעזרת הסכימה. נבדוק מתי למשוואה אין בכלל פתרון ממשי. זה קורה כאשר הדיסקרימיננטה שלילית כלומר:

$${\begin{matrix}\Delta <0\\\\b^{2}-4ac<0\\\\(m-3)^{2}-4\cdot (6-m)\cdot 1<0\\\\m^{2}-6m+9-24+4m<0\\\\m^{2}-2m-15<0\end{matrix}}$$

$f(m)=m^{2}-2m-15$ מייצגת פרבולה ישרה (כלומר מחייכת) החותכת את ציר $x$ בנקודות $x=-3,5$ ולכן כפי שפתרנו בפרק אי־שוויונות ממעלה שניה:

תשובה: $-3<m<5$ ובזאת פתרנו את הסעיף הראשון. נמשיך ונפתור – עבור אילו ערכים של $m$ יש למשוואה פתרון יחיד?

אם $a=0$ אזי $6-m=0$ ונקבל $m=6$ ולכן גם מתקיים $b=m-3=3\neq 0$ וישנו פתרון יחיד במקרה $m=6$ אך בזאת לא סיימנו את הפתרון מפני שעלינו גם לבדוק מה קורה אם $a\neq 0$ . נדרוש $a\neq 0$ כלומר, $6-m\neq 0$ ונקבל $m\neq 6$ . עלינו גם לדרוש $\Delta =0$ ולכן $m^{2}-2m-15=0$ . פתרונות המשוואה הם כאמור $x=-3,5$ . על־פי הסכימה, על־מנת שיתקבל פתרון יחיד צריך ששני התנאים יתקיימו יחדיו אך מכיוון שאם $m=-3$ או $m=5$ הרי שברור שגם מתקיים $x\neq 6$ .

מכאן שהתשובה לסעיף זה היא האיחוד של שתי התשובות וזה אומר: $m=6$ או $m=5$ או $m=-3$ .

את הסעיף האחרון ניתן לפתור בעזרת המידע שכבר קיים מפתרון הסעיפים הקודמים. פתרון הסעיף הזה הוא בדיוק המשלים (אם אינך זוכר מהו משלים חזור לפרק קבוצות ותחומים) של הקבוצה של כל הפתרונות הקודמים. נזכר ונראה שאיחוד הפתרונות הוא $-3<m<5$ או $m=6$ או $m=-3$ או $m=5$ . מחוקי דה־מורגן מתקבל שהמשלים (שהוא גם הפתרון) הוא: ($m>5$ או $m<-3$) וגם $m\neq 6$ וגם $m\neq -3$ וגם $m\neq 5$

תלמיד המתקשה בשימוש בחוקי דה־מורגן יכול כמובן לעבוד על־פי הסכימה הכתובה לעיל והתשובה שתתקבל תהיה שקולה.

דוגמה 2

נתונה המשוואה הריבועית $\;m^{2}x^{2}+(2m-5)x+1=0$. עבור אילו ערכים של $\;m$ יש למשוואה שני פתרונות בדיוק?
פתרון: לפי הכלל, למשוואה יש שני פתרונות אם ורק אם מתקיים ש:

$\;m^{2}\neq 0$ וגם $\;\Delta >0$

נפתור כל תנאי בנפרד:

$\;m^{2}\neq 0$
$\Updownarrow$
$m\neq 0$

נותר לפתור את אי השוויון השני. אז:

$\;\Delta >0$
$\Updownarrow$
$\;b^{2}-4ac>0$
$\Updownarrow$
$\;(2m-5)^{2}-4m^{2}\cdot 1>0$
$\Updownarrow$
$\;4m^{2}-20m+25-4m^{2}>0$
$\Updownarrow$
$\;-20m+25>0$
$\Updownarrow$
$\;25>20m$
$\Updownarrow$
$m<{\frac {5}{4}}$

ומכיוון שהסכימה דורשת שכל התנאים יתקיימו אז הקשר הלוגי כאן הוא וגם ולכן התשובה היא:
תשובה: $m<{\frac {5}{4}}$ וגם $\;m\neq 0$

חקירת משוואות באמצעות נוסחאות וייטה

במקרים מסויימים אנו נדרשים לקבוע את סוג הפתרונות המתקבלים ממשוואה ריבועית, כלומר לעיתים נשאל שאלות בסגנון: "עבור אילו ערכים של הפרמטר $\;m$ למערכת ישנם שני פתרונות חיוביים?". במקרה זה עלינו לנצל את הידע שרכשנו בחקירת משוואה ריבועית ובידע נוסף שהוא נוסחאות וייטה. נוסחאות וייטה נותנות לנו מידע על סכום הפתרונות של משוואה ריבועית ועל מכפלת הפתרונות של משוואה ריבועית. נזכר, אם כן, בנוסחאות וייטה. אם נתונה משוואה ריבועית:

$\;ax^{2}+bx+c=0$

הרי שנוסחאות וייטה הן:

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$
$x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}$

נוסחאות וייטה, כאמור, מתייחסות לפתרונות המשוואה הריבועית הנתונה $\;x_{1},x_{2}$
ישנם 4 תנאים (מלבד התנאים המוזכרים למעלה: שני פתרונות, פתרון יחיד, ואין פיתרון) אשר יכולים להדלות מ-2 נוסחאות אלה:

1.שני שורשי המשוואה חיוביים:

$-{\frac {b}{a}}>0$

${\frac {c}{a}}>0$

$\;\Delta >0$

2.שני שורשי המשוואה שליליים:

$-{\frac {b}{a}}<0$

${\frac {c}{a}}>0$

$\;\Delta >0$

3.שני השורשים שווי סימן:

${\frac {c}{a}}>0$

$\;\Delta >0$

4.שני השורשים שוני סימן:

${\frac {c}{a}}<0$

מכאן קל לקבל כמה תנאים לגבי תכונת הסימן של הפתרונות. למשל, על מנת שלשני הפתרונות יהיו סימנים הפוכים, עלינו לדרוש שמכפלתם תהיה שלילית. יש לשים לב כי אם ניתנה לנו שאלה, הדרישות שלנו על הפתרונות חייבים להיות גם מספיקים וגם הכרחיים, כלומר שאם הם מתקיימים אז תנאי השאלה מתקיימים ואם תנאי השאלה מתקיימים אז התנאים מתקיימים. כלומר, אם נתבקשנו למצוא את התנאי שנוסח כ"פתרונות המשוואה שוני סימן" הרי שאם הפתרונות שוני סימן אז ברור שמכפלתם היא שלילית, ומאידך ברור שאם מכפלתם שלילית אז הם בוודאי שוני סימן. בכל שאלה עלינו לוודא שאכן התנאי עובד לשני הכיוונים.

דוגמה 3

נחזור לדוגמה הראשונה שהוצגה בסעיף זה. $\;m^{2}x^{2}+(2m-5)x+1=0$. עלינו למצוא עבור אילו ערכים של $\;m$ למשוואה פתרונות שוני סימן. כבר הערנו שבמקרה זה עלינו לדרוש שמכפלתם תהיה שלילית, כלומר $x_{1}\cdot x_{2}<0$ או, לפי נוסחאות וייטה

${\frac {c}{a}}<0$

כלומר

${\frac {1}{m^{2}}}<0$

אי שיוויון זה אינו מתקיים לעולם(במסגרת המספרים הממשיים) ולכן אנו מסיקים שלא קיימים ערכים של $\;m$ שעבורם לפתרונות המשוואה סימנים הפוכים במסגרת המספרים הממשיים.

דוגמה 4

עבור אילו ערכי $\;m$ למשוואה $\;m^{2}x^{2}+(2m-5)x+1=0$ יש שני פתרונות חיוביים? בעיה זו דומה לבעיה קודמת. עם זאת, במקרה זה עלינו לשים לב לתנאים נוספים. עלינו למצוא את התנאי שעבורו למשוואה שני הפתרונות חיוביים. זה אומר שלשניהם יש אותו סימן, אך ברור שתנאי זה אינו מספיק מכיוון שגם לו מצאנו את הערכים עבורם לשני הפתרונות סימנים זהים, הרי שיתכן שהפתרונות שניהם שליליים. על מנת לוודא שהפתרונות הם אכן חיוביים, נשים לב שמספיק לדאוג שסכומם יהיה חיובי. זאת מכיוון שאם שני הפתרונות הם בעלי סימנים זהים, אז שניהם חיוביים או שליליים באותו הזמן אז סכומם הוא חיובי רק אם שניהם חיוביים. מאידך ברור שאם שניהם חיוביים אז סכומם חיובי ובזאת קיבלנו את התנאי הנדרש. על פי נוסחאות וייטה ודוגמה קודמת ברור שעל מנת שהפתרונות הם בעלי סימנים זהים צריך להיות

${\frac {c}{a}}>0$

כלומר

${\frac {1}{m^{2}}}>0$

וזה נכון לכל $\;m\neq 0$. על מנת שסכומם יהיה חיובי נדרוש גם

$-{\frac {b}{a}}>0$

כלומר

${\frac {2m-5}{m^{2}}}<0$

ניתן לכפול ב-$\;m^{2}$ כי הוא חיובי ולכן

$\ m<{\frac {5}{2}}$

ועל כן התשובה היא $\ m<{\frac {5}{2}}$.

עלינו לבדוק מה קורה כאשר $\;m=0$ מכיוון שהנחנו ש-$\;m\neq 0$, אך ברור כי הצבת $\;m=0$ מביאה אותנו למשוואה לינארית שלה פתרון חיובי בודד ולכן אינה מהווה חלק מהפתרון המבוקש. כלומר, הפתרון המבוקש כולל גם את התנאי ש-$\;m\neq {0}$.
פתרון: $m<{\frac {5}{2}}\wedge m\neq {0}$

הפרק הקודם: אי שוויונות ופרמטרים

חקירת משוואה ריבועית תרגילים

הפרק הבא: סדרות