מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי פעולות החשבון

המספרים הנייטרליים 0 ו-1

0 הוא מושג מתמטי אשר מסמל את ה"אין". מספר עדויות ארכיאולוגיות קיימות שמעידות שהשימושים הראשונים של המושג 0 היו כבר במאה ה-5 לפני הספירה בתרבויות העתיקות של אמריקה. ב"עולם הישן" המושג הוכנס לשימוש לכל המאוחר במאה התשיעית, אם כי ישנן עדויות שהוא הוכנס לשימוש עוד מוקדם יותר.
המספר מייצג את מושג ה-אין. זהו מספר אשר חיבור של כל מספר איתו תמיד ייתן את אותו המספר. כלומר, לכל מספר $\ a$ תמיד מתקבל $\ a+0=a$ ועל כן תפקידו כמספר נייטרלי לחיבור. המספר 1 גם הוא מהווה מספר נייטרלי, הפעם ביחס לפעולת הכפל: לכל מספר $\ a$ נקבל תמיד $\ a\cdot 1=a$.

המספר ההופכי והמספר הנגדי

המספר הנגדי למספר $\ a$ הינו מספר שחיבור שלו עם $\ a$ נותן 0. מספר זה הוא יחיד. כלומר, קיים רק מספר אחד שהוא נגדי למספר מסויים. מספר כזה מסומן בסימן - (מינוס). בשפה מתמטית נגיד: לכל מספר $\ a$ קיים מספר נגדי שמסומן ב

$\ \left(-a\right)$

כך שמתקיים

$\ a+\left(-a\right)=\left(-a\right)+a=0$

מהגדרה זו נובע שהנגדי של הנגדי למספר כלשהו זה המספר עצמו, באופן הבא:
מהגדרת הנגדי מתקיים:

$\ \left(-a\right)+\left[-\left(-a\right)\right]=0$

כלומר נקבל:

$\ \left(-a\right)+\left[-\left(-a\right)\right]=\left(-a\right)+a$

משיוויון זה, וכן בהסתמך על העובדה שהנגדי הוא יחיד (לפי הגדרה), נקבל שמתקיים:

$\ \left[-\left(-a\right)\right]=a$.

גם בפעולת הכפל קיים מספר דומה. במקרה של הכפל, מכפלה במספר זה (הקרוי הופכי) מביאה לקבלת המספר 1. לכל המספרים קיים מספר הופכי, פרט למספר 0 שלו אין הופכי. למספר ההופכי יש קשר ישיר לפעולת החילוק, כמו שלמספר הנגדי ישנו קשר ישיר לפעולת החיסור. את המספר ההופכי אנו נסמן בעזרת קו שבר באופן הבא: יהא $\ a$ מספר השונה מ-0. אזי, ההופכי שלו מסומן באופן הבא:

$\ {\frac {1}{a}}$

כך שמתקיים:

$\ {\frac {1}{a}}\cdot {a}=a\cdot {\frac {1}{a}}=1$

• כאשר מחלקים מספר כלשהו במספר אחר, הפעולה שאנו מבצעים הלכה למעשה הינה כפל במספר ההופכי. אם כן, את פעולת החילוק נגדיר ככפל בהופכי. כך גם נגדיר את פעולת החיסור כחיבור עם הנגדי. את החיסור של שני מספרים

$\ a,b$ נסמן באופן הבא:

$\ a-b$

כאשר למעשה הפעולה האמיתית שאנו מבצעים הינה

$\ a+\left(-b\right)$

באותו אופן מוגדר גם החילוק, כך שלמעשה מקבלים:

$\ {\frac {a}{b}}={\frac {1}{b}}a$

הסיבה שבגללה אין הופכי לאפס היא שניתן להוכיח כי $\ a\cdot 0=0$ לכל מספר $\ a$ (לצורך כך יש להכיר את חוק הפילוג שטרם למדנו). בשל כך, לא ייתכן שיהיה קיים מספר $\ a$ כך ש-$\ a\cdot 0=1$.

מכיוון שלאפס אין הופכי, לא ניתן להגדיר חילוק באפס באותה צורה בה הוגדר החילוק עבור שאר המספרים, ולכן לרוב משאירים את תוצאת החילוק באפס בלתי מוגדרת.

חלוקה באפס עלולה לגרום לטעויות: למשל, נביט במשוואה $\ 0\cdot 1=0\cdot 2$. ברור כי היא נכונה שכן שני אגפיה שווים לאפס. אם נחלק את שני אגפי המשוואה באפס נקבל $\ 1=2$ וזה בבירור לא נכון.

חוקי החילוף של החיבור והכפל

בחיבור ניתן להחליף את מיקום האיברים בחיבור מבלי לשנות את התוצאה. לדוגמא $\ 5+2=2+5$ ולכן לכל $\ a,b$ מספרים מתקיים ש: $\ a+b=b+a$. חוק זה תקף גם לגבי כפל, אך אינו תקף לגבי חיסור או חילוק.

הסיבה שהחוק אינו תקף עבור חיסור היא שבפעולת החיסור אנחנו מחברים את אחד המספרים עם הנגדי של השני, והשאלה לאיזה משני המספרים ניקח את הנגדי תלויה במיקום שלו: בחיסור אנחנו תמיד לוקחים את הנגדי של האיבר שמימין לסימן החיסור. מסיבה דומה החוק אינו תקף עבור חילוק.

הערה: ניתן להחליף את מיקום האיברים בחיסור מבלי לשנות את התוצאה אם נרחיב את פעולת החיסור לחיבור בנגדי, לדוגמא במקום לרשום $\ 5-2$ נרשום $\ 5+(-2)$ ואז הסדר לא משנה כי בעצם לכל $\ a,b$ מספרים מתקיים ש: $\ a-b=a+(-b)=(-b)+a$ בדיוק כמו בחיבור רגיל.

חוק הקיבוץ

חוק זה קובע שאין חשיבות למיקום הסוגריים כאשר אנו מבצעים פעולות חיבור בלבד או פעולות כפל בלבד. כלומר: לכל $\ a,b,c$ מספרים כלשהם, מתקיים:

$\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$

ובאותה צורה מתקיים:

$\left(ab\right)c=a\left(bc\right)$

בזכות קיומו של חוק זה ניתן לכתוב פשוט $\ a+b+c$ או $\ abc$ ללא סוגריים, וזאת למרות שפעולות החיבור והכפל הוגדרו עבור זוג של מספרים ולא עבור שלשות.

נשים לב שהחוק עוסק בסדר חישוב פעולת הסוגריים רק עבור פעולות זהות, ועבור פעולות שונות החוק אינו נכון. למשל:

$\ 9=(1+2)\cdot 3\neq 1+(2\cdot 3)=7$.

חוק הפילוג

חוק זה קובע קשר בין פעולות הכפל והחיבור. בעזרת חוק זה ניתן לפתוח סוגריים ולהוציא מספר מסוגריים, פעולות שנדון בהן בהמשך.

$a\left(b+c\right)=ab+ac$

הסכם סדר הפעולות

במתמטיקה קיים הסכם שקובע את סדר הפעולות שעושים כאשר מחשבים את הערך של שרשרת פעולות כלשהי. ההסכם קובע שכפל וחילוק קודמים לחיבור וחיסור. הסכם זה נקבע כך בשל הקיום של חוק הפילוג. למרות הסכם זה ולפי חוק הפילוג, כאשר מחשבים את ערכה של תבנית כלשהי יש לחשב קודם את הערך שבסוגריים, כאשר יש להתחיל בסוגריים הפנימיים ביותר ולעלות בהיררכיה בהדרגה. במילים אחרות, בבואינו לחשב ערך של ביטוי מתמטי מסויים, עלינו לפעול בסדר הבא:

1. איתור הסוגריים וחישוב תוכנם, באופן הבא:
   1. חישוב כל פעולות החזקה (פעולה שטרם למדנו).
   2. חישוב כל פעולות הכפל והחילוק.
   3. חישוב כל פעולות החיבור והחיסור.
2. לאחר שחישבנו את ערכו של כל אחד מהביטויים הרשומים בסוגריים, עלינו לבצע את הפעולות לפי הסדר הנ"ל בין המספרים שהתקבלו כתוצאה מהחישוב.

דוגמה: חשבו את ערך הביטוי הבא:

$\ \left(1+\left(3-2\right)\cdot 4-3\right)\cdot \left(4+1\cdot 2\right)+\left(0+2-1\right)=?$

פתרון:

• נפתח בחישוב הסוגריים הראשונים, כלומר השמאליים ביותר: $\ \left(1+\left(3-2\right)\cdot 4-3\right)$. מאחר וסוגריים אלה מכילים בתוכם זוג נוסף של סוגריים, נטפל קודם כל בו. נחשב את הסוגריים הפנימיים:$\ 3-2=1$. נכניס את תוצאת החישוב לתוך הסוגריים הגדולים יותר, ונקבל:$\ \left(1+1\cdot 4-3\right)$.
  נזכור, שפעולת הכפל קודמת לפעולת החיבור. לכן, נחשב כעת את המכפלה שבתוך הסוגריים: $\ 1\cdot 4=4$. כלומר, עכשיו כתוב לנו בתוך הסוגריים: $\ \left(1+4-3\right)$.
  

כעת, משנותרנו רק עם פעולות חיבור וחיסור, נחשב אותן לפי הסדר: $\ 1+4-3=5-3=2$. לכן, תוצאת הסוגריים השמאליים היא 2.

• נחשב כעת את הסוגריים האמצעיים: $\ \left(4+1\cdot 2\right)$. סוגריים אלה אינם מכילים בתוכם סוגריים נוספים, אבל מכילים פעולות מסוגים שונים: גם כפל וגם חיבור. נזכור, שכפל קודם לחיבור, ונחשב קודם אותו, לפי הגדרת המספר הנייטרלי לכפל שראינו למעלה: $\ 1\cdot 2=2$. כלומר, נותרנו עם: $\ \left(4+2\right)$.

ונעבור לחישוב הסופי עבור סוגריים אלה: $\ 4+2=6$.

• נעבור כעת לסוגריים האחרונים, כלומר הימניים ביותר: $\ \left(0+2-1\right)$. בתוך סוגריים אלה יש פעולות מהסוגים חיבור וחיסור, לכן נבצע אותן לפי הסדר בו הן מופיעות, תוך שאנו זוכרים את האיבר הנייטרלי לחיבור המופיע למעלה: $\ 0+2-1=2-1=1$.

• כעת, משפתחנו את כל הסוגריים, נעבור לשלב הבא: במקום כל סוגריים נכתוב את תוצאת הביטוי הרשום בתוכם. נקבל: $\ 2\cdot 6+1$. בביטוי החדש שהתקבל יש לנו פעולת כפל ופעולת חיבור. נפתח, כזכור, בפעולת הכפל: $\ 2\cdot 6=12$. ונותר לחשב את: $\ 12+1=13$.
  

כלומר, תוך שמירה על סדר הפעולות מצאנו שסכום הביטוי הנ"ל הוא 13.

נקודה למחשבה: מה היה קורה אם לא היינו שומרים על סדר הפעולות? מה היינו מקבלים אז?

חיבור וחיסור של שברים

חיבור וחיסור של שברים אינם חוקים בפני עצמם, כלומר הם נובעים ישירות מהחוקים שכבר היכרנו. החוקים החשובים ביותר הם כפל ב-1, והוצאת גורם משותף מהסוגריים. פעולות אשר נדון בהן בהמשך כאשר נדון בטכניקות אלגבריות פשוטות. ראשית, הבא נתבונן בדוגמא:

${\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}$

אנו יכולים לחסר בקלות שני שברים אלו מכיוון שיש להם מכנה משותף. הסיבה לכך שמכנה משותף מאפשר זאת נעוצה בשתי עובדות:

${\frac {3}{2}}=3\cdot {\frac {1}{2}}$

ובעובדה ש-

${\frac {1}{2}}=1\cdot {\frac {1}{2}}$

כלומר, אם נכתוב את בעיית החיסור לדוגמא באופן מעט שונה:

${\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}=3\cdot {\frac {1}{2}}-1\cdot {\frac {1}{2}}$

וכעת ניתן להוציא גורם משותף (${\frac {1}{2}}$) מחוץ לסוגריים, ולקבל:

$3\cdot {\frac {1}{2}}-1\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\left(3-1\right)$

ומכיוון שידוע לנו ש-$\;3-1=2$ הרי שנקבל בקלות ש-

$3\cdot {\frac {1}{2}}-1\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\left(3-1\right)={\frac {1}{2}}\cdot 2=1$

בבואנו לפתור בעיות שבהן אין לשני שברים מכנה משותף, עלינו לשנות את הדרך שבה מוצגים שני השברים להצגה שבה כל המכנים יהיו שווים. פעולה זו נקראת מציאת מכנה משותף, ולמען פשטות החישוב, מומלץ גם שמכנה משותף זה יהיה הקטן ביותר (אם כי לא חובה). את פעולה זו אנו וודאי כבר מכירים מלימודינו הקודמים, אך אנו נחזור על ההגיון מאחורי גישה זו. הרעיון מתבסס על כך שכל מספר ניתן לכפול ב-1 ולא לשנות את ערכו, אבל את-1 ניתן להציג בדרכים שונות, למשל: ${\frac {2}{2}}$. עובדה זו, מאפשרת לנו "לצמצם ולהרחיב" שברים. פעולות אלו מאפשרות לשנות את המכנה של שבר מבלי לשנות את ערכו. למשל:

${\frac {3}{4}}+{\frac {1}{6}}$

לשברים אלו אין מכנה משותף ועלינו לשנות מצב זה. על מנת לעשות זאת, נכפול את השבר הראשון (שלושת-רבעי) ב-${\frac {3}{3}}$ כלומר ב-1 (זה לא משנה את ערכו של השבר), ואת השבר השני נכפול ב-${\frac {2}{2}}$ כלומר ב-1 גם כן. הסיבה לבחירת מספרים אלו היא העובדה שהכופל המשותף הקטן ביותר בין 4 ל-6 הוא 12, ולכן יש לכפול את 6 ב-2 ואת 4 ב-3. התוצאה המתקבלת היא:

${\frac {3}{4}}+{\frac {1}{6}}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {3}{3}}+{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2}{2}}={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 2}{6\cdot 2}}={\frac {9}{12}}+{\frac {2}{12}}$

ומכאן ההמשך קל וברור שכן ישנו מכנה משותף. שימו לב שבכל אחת מפעולות הכפל ב-1 שעשינו, ערך השבר לא השתנה. פעולות אלו נקראות הרחבה, ואילו פעולות דומות, בהן מחלקים את השבר ב-1 באופן דומה, ניקראות צמצום.

באותו האופן, פעולות צמצום והרחבה ניתן לבצע בפרמטרים. גם כאן, יש לוודא שאיננו מחלקים ב-0, אבל לרוב בעיה זו לא תופיע. במקרה של פרמטרים במכנה, לא ניתן (לרוב) למצוא מכנה משותף קונקרטי (מספרי) ועלינו להסתפק במכנה משותף פרמטרי. למשל:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}$

הפרמטרים $\;b$ ו$\;d$ אינם 0. במקרה זה, עלינו להרחיב את השבר הראשון ב-$\;d$ ואילו את השבר השני ב-$\;b$ ובכך נקבל מכנה משותף שערכו יהיה $\;b\cdot d$. נקבל:

${\frac {ad}{bd}}+{\frac {cb}{db}}={\frac {ad+cb}{bd}}$

כמובן, אם הינו מציבים במקום הפרמטרים הנתונים את המספרים מהדוגמא הקודמת, היינו מקבלים תוצאה סופית זהה, אך המספרים היו גדולים יותר במהלך החישוב: נציב $\;a=3,b=4,c=1,d=6$. נקבל:

${\frac {ad+cb}{bd}}={\frac {3\cdot 6+1\cdot 4}{4\cdot 6}}={\frac {22}{24}}$

לאחר צמצום השבר ב-2 (כלומר חילוק השבר כולו ב-${\frac {2}{2}}$), נקבל בדיוק את אותה התוצאה שקיבלנו קודם.

הפרק הקודם: חוקי החשבון

חוקי פעולות החשבון תרגילים

הפרק הבא: חוקי חשבון חזקות