מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
- נמצא את תחום ההגדרה של אי-השוויון.
- אם ניתן נעביר אגפים כך שבצד אחד של אי-השוויון יהיה אפס ובצד שני שבר (המומלץ ביותר).
- שבר הוא חיובי אם המכנה והמונה שלו הם שווי סימן, והוא שלילי אם הם שוני סימן
- אם ניתן, נעביר אגפים כך שבצד אחד יהיה גורם חופשי ומצד שני שבר (עדיף להמנע).
- נכפיל את שני האגפים של אי-השוויון במכנה בשנייה תוך שמירה על כיוון סימן האי-שיוויון (הערך של המכנה בריבוע חיובי כיוון שבתחום ההגדרה המכנה שונה מאפס).
- במידה ולא ניתן להעביר אגפים נצטרך לפתור את אי-השוויון בדרך הארוכה. נבדוק את המקרים בהם המכנה חיובי ושלילי כפי שמוסבר כאן
- נסכם את הפתרונות
בדיקת חיוביות ושליליות
[עריכה]
תרגיל 1:
|
שלב א': נעביר את כל הגורמים לאגף אחד
שלב ב': נמצא מכנה משותף:
נחלק בחמש :
שלב ג': מכפילים במכנה בריבוע:
או
שלב ד': נסכם את הפתרונות
או
| |
|
הכפלה ללא משוואת אפס
[עריכה]
תרגיל 2:
|
שלב א': נבדוק תחום הגדרה למכנה (מתי הוא מתאפס):
שלב ב': הצלחנו ליצר מבנה בו בצד אחד יש גורם חופשי ומצד שני שבר. אם כן נוכל להעזר בדרך הקלה ולהכפיל בשנייה.
שלב ג': נפתור
או
שלב ד': נסכם את הפתרונות
או
|
סיכום והערות:
- לסיכום, הטכניקה היא הכפלת אי-השוויון במכנה בריבוע (כדי שיווצר ביטוי חיובי). משם פותרים רגיל.
- יש לשים לב כי מכפילים את שני האגפים בריבוע, ולא בטעות רק אחד מהם.
- יש לשים לב שתחום ההגדרה אינו נכלל בפתרון. הכללת תחום ההגדרה מהווה שגיאה חמורה.
|
| |
|
קיימים מצבים בהם אין לנו ברירה אלא לפתור באמצעות הדרך הארוכה
- דוגמא 2
פתרו את אי-השוויון:
- פתרון
נפתור את התרגיל בעזרת חלוקה למקרים. כדי שהשבר יהיה שלילי (רק שלילי) יש שתי אפשרויות:
וגם ![{\displaystyle x+4>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c277a9e91a3fc547cc8febe3efc14424c0108f)
וגם ![{\displaystyle x+4<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6913739dfa26d8b83b6332dcc76cd6ae01dd7dbd)
נפתור את שתי האפשרויות בנפרד, ולבסוף נפעיל בין הפתרונות שלהן קשר "או":
1.
וגם ![{\displaystyle x>-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd31d7b42c03178edb690d2b5cc672e65edbe98)
וגם ![{\displaystyle x>-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd31d7b42c03178edb690d2b5cc672e65edbe98)
![{\displaystyle -3<x<3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c0084a2ae212065236ca591f2dfc30f5ae3d9b)
2.
וגם ![{\displaystyle x<-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105e318051a222ae900d7638b20406a7d88a5afc)
או
וגם ![{\displaystyle x<-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105e318051a222ae900d7638b20406a7d88a5afc)
![{\displaystyle x<-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105e318051a222ae900d7638b20406a7d88a5afc)
לכן הפתרון של שליליות השבר הוא:
או
כמו-כן, יש לבדוק מתי השבר מתאפס (כך נתבקשנו) ולכן:
![{\displaystyle {\frac {x^{2}-9}{x+4}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b2b79a0912cf3433c7de3d1fb804662fd166b4)
![{\displaystyle x^{2}-9=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87dae6629c8531b8587345f8e59c8cc12b38d625)
![{\displaystyle x_{1}=-3\quad ,\quad x_{2}=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55044ca7d9e780bab894316fd9ada82755e0255f)
ולכן הפתרון הסופי הוא:
או ![{\displaystyle -3\leq x\leq 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1854c5e9a6bfbcd8b960dcdec8472831f520778)