מבנים אלגבריים/חבורות

חבורה היא המבנה האלגברי הראשון שנעסוק בו בספר זה. מדובר במבנה בסיסי המורכב מקבוצה ופעולה בינארית אחת, המקיים כמה תנאים, או אקסיומות. החבורות הופיעו במחקר המתמטי במהלך המאה ה-18, במסגרת הנסיונות לפתור משוואות פולינומיות ממעלה גבוהה, כדוגמת הפתרונות למשוואה ממעלה שלישית ורביעית שהתגלו במאה ה-16. החבורות שבהן עסקו החוקרים הראשונים, ובראשם אווריסט גלואה ונילס הנריק אבל, היו חבורות מוחשיות הכוללות תמורות (עליהן נדבר מאוחר יותר בפרק זה והן יהוו לנו מקור עשיר של דוגמאות ומשפטים). מאוחר יותר ניסח ארתור קיילי את מערכת האקסיומות המגדירה חבורה באופן מופשט, וייסד בכך את תורת החבורות.
התנאים שמגדירים את הקבוצה ואת הפעולה הבינארית להיות חבורה, נקראים האקסיומות של החבורה. כפי שנראה בהמשך, תנאים אלה נראים לנו מאוד טבעיים בהקשרים שונים של כפל וחיבור של מספרים שלמים וממשיים. המבנה האלגברי של חבורה נועד לתת לנו כלים לחקור את המקרים השונים בצורה גמישה ונוחה מבלי להגביל אותנו למקרים פרטיים.

הגדרת החבורה

הקבוצה $\ G$ עם הפעולה הבינארית $\cdot$, תקרא חבורה אםם התכונות הבאות מתקיימות:

• סגירות: לכל $a,b\in G$ מתקיים ש $a\cdot b\in G$.
• אסוציאטיביות(קיבוציות): לכל $a,b,c\in G$ מתקיים ש $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$.
• איבר נייטראלי(או איבר יחידה): קיים איבר $e\in G$ כך שלכל $a\in G$ מתקיים $a\cdot e=e\cdot a=a$.
• קיום איבר הפכי: לכל $\ a\in G$ קיים $\ b\in G$ כך ש $a\cdot b=b\cdot a=e$ כאשר $\ e$ הוא איבר יחידה.

חבורה אבלית (חילופית) היא חבורה שבה מתקיים, בנוסף, תנאי הקומוטטיביות(חילופיות): $a\cdot b=b\cdot a$.
את החבורה $\ G$ עם הפעולה הבינארית $\cdot$ נהוג לסמן ב$(G,\cdot )$, או, אם רוצים להדגיש את האיבר הנייטרלי $\ (G,\cdot ,1_{G})$.

נשים לב ששתי חבורות הן זהות אם הקבוצה שלהן היא אותה קבוצה והפעולה הבינארית שלהן היא אותה הפעולה (בהמשך הפרק נלמד על דרכים נוספות לאפיין "דמיון" בין שתי חבורות אפילו אם הקבוצות או הפעולות הבינאריות אינן זהות).

סימונים של חבורה כפלית

זהו כינוי לחבורה שבה הפעולה הבינארית מזכירה לנו באופן אינטואטיבי את פעולת הכפל. אין זה בהכרח אומר שיש הבדל בין חבורה כזו לבין כל חבורה אחרת, אלא זה נועד רק כדי להקל עלינו בבחירת הסימונים. כך לדוגמה, בחבורה כפלית נסמן את איבר היחידה ב$\ 1$ או, אם נרצה לשים דגש על כך שאיבר היחידה הנ"ל הוא איבר היחידה של חבורה $\ G$ כלשהי נסמן את איבר היחידה ב $\ 1_{G}$. את האיבר ההפכי לאיבר $\ a\in G$ נהוג לסמן בחבורה כפלית ב$\ a^{-1}$ .

בנוסף, כשמדובר במשתנים, אנחנו לעיתים נשמיט את סמן הכפל ונרשום $\ a\cdot b=ab$.

סימונים של חבורה חיבורית

זהו כינוי לחבורה שבה הפעולה הבינארית מזכירה לנו באופן טבעי את פעולת החיבור. האיבר הנייטרלי בחבורה חיבורית יסומן לעיתים ב $\ 0$ ואם ברצוננו להדגיש את שיכותו לחבורה $\ G$ מסויימת אנו נסמן אותו ב$\ 0_{G}$.

את האיבר ההפכי לאיבר $\ a\in G$ נהוג לסמן בחבורה חיבורית כ $\ -a$ .

כעת נרשום את אקסיומות החבורה עבור חבורה חיבורית: (שימו לב שבמהות של האקסיומות אין הבדל כלל וההבדל היחיד הוא עניין של סימון)

• סגירות: לכל $a,b\in G$ מתקיים ש $\ a+b\in G$.
• אסוציאטיביות(קיבוציות): לכל $a,b,c\in G$ מתקיים ש $\ a+(b+c)=(a+b)+c$.
• איבר נייטראלי(או איבר יחידה): קיים איבר $0_{G}\in G$ כך שלכל $a\in G$ מתקיים

$\ a+0_{G}=0_{G}+a=a$.

• קיום איבר הפכי: לכל $\ a\in G$ קיים $\ b\in G$ כך ש $\ a+b=b+a=0_{G}$ כאשר $\ 0_{G}$ הוא האיבר הנייטרלי.

חבורה אבלית (חילופית) היא חבורה שבה מתקיים, בנוסף, תנאי הקומוטטיביות(חילופיות): $\ a+b=b+a$.

שימו לב: חשוב לציין שלעיתים קרובות אנחנו נראה פעולות בינאריות בחבורות שלא רק שהן לא מזכירות לנו את פעולות החיבור והכפל, אלא שהן נוגדות לחלוטין את האינטואיציה הבסיסית שלנו לגבי איך שפעולות בינאריות "צריכות" להתנהג. המושגים הנ"ל של חבורות חיבוריות וכפליות הן אך ורק כדי להקל עלינו מבחינת סימונים!

מכפלה קרטזית של חבורות

בהינתן חבורות $\ (X,+_{X}),(Y,+_{Y})$ נסתכל על הקבוצה $\ X\times Y$ ונגדיר חיבור באופן הבא, יהיו $\ (a,b),(c,d)\in X\times Y$ אזי נגדיר:

$\ (a,b){\tilde {+}}(c,d)=(a+_{X}c,b+_{Y}d)$

כעת, קל להוכיח כי $\ (X\times Y,{\tilde {+}})$ היא חבורה, ומעבר לכך מתקיימת הטענה הבאה:

טענה: החבורה $\ (X\times Y,{\tilde {+}})$ היא חבורה חילופית אם החבורות $\ (X,+_{X}),(Y,+_{Y})$ הן שתיהן חבורות חילופיות.

שתי הטענות לעיל מושארות לקורא בתור תרגיל.

אקסיומות שקולות

במתמטיקה נהוג בדרך כלל לקחת את סט האקסיומות המינימאלי ביותר האפשרי ששומר על המבנה שרצינו. תשומת לב קפדנית לאקסיומות שרשמנו לעיל תראה לנו שהנחנו דברים נוספים באקסיומות שלנו שאולי לא היה לנו בהם צורך. לכן, נרשום כעת את האקסיומות הבסיסיות ביותר שמגדירות חבורה והקורא הסקרן מוזמן לנסות להוכיח שאכן אלו אקסיומות שקולות (כלומר להראות שמסט האקסיומות הקודמים נובעות האקסיומות הבאות ולהפך):

הקבוצה $\ G$ עם הפעולה הבינארית $\cdot$, תקרא חבורה אםם התכונות הבאות מתקיימות:

• סגירות: לכל $a,b\in G$ מתקיים ש $a\cdot b\in G$.
• אסוציאטיביות(קיבוציות): לכל $a,b,c\in G$ מתקיים ש $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$.
• איבר נייטראלי(או איבר יחידה) ימני: קיים איבר $e\in G$ כך שלכל $a\in G$ מתקיים $a\cdot e=a$.
• קיום איבר הפכי מימין: לכל $\ a\in G$ קיים $\ b\in G$ כך ש $a\cdot b=e$ כאשר $\ e$ הוא איבר יחידה.

כלומר, ההנחה שהאיבר הנייטרלי הוא גם נייטרלי מימין וגם משמאל היא מיותרת וכך גם לגבי האיבר ההפכי.

ראוי לציין גם שיש אקסיומות חלופיות אחרות שלא דומות כלל לאקסיומות הרשומות לעיל אך הן שקולות לאלו שאנחנו מכירים. אלטרנטיבות שכאלה מופיעות במקרים רבים במתמטיקה ובהמשך הלימוד שלנו גם ניתקל בהן.

הפרק הקודם: תמורות

חבורות

הפרק הבא: תכונות בסיסיות