מבנים אלגבריים

ספר זה טרם הושלם ונמצא עדיין בכתיבה. ייתכן שחסרים בו פרקים, או אף נושאים שלמים. לפיכך, כרגע לא ניתן ללמוד ממנו על כל הנושא בצורה מקיפה. כמו בכל אחד מהספרים, מהדפים ומהנושאים בוויקיספר, גם כאן אתם מוזמנים להוסיף את הפרקים שלדעתכם חסרים. כל פעולה שעשויה לעזור תתקבל בברכה, כולל הערות ובקשות בדף השיחה של הספר. מלבד הפרקים החסרים, בספר חסרים גם מספר רב של דוגמאות, וכידוע, אי אפשר ללמוד באמת חומר במתמטיקה מבלי להיחשף לדוגמאות רבות ומגוונות, לכן תרומה של דוגמאות נוספות לפרקים השונים תתקבל בברכה. עדכון מצב הספר

מבוא

מבנים אלגברים נחקרים במסגרת האלגברה המופשטת, ומהווים הכללה של עצמים מתמטיים קונקרטיים דוגמת המספרים (שלמים, רציונליים, ממשיים ומרוכבים), מרחבים רב ממדיים (כמו $\mathbb {R} ^{n}$), אוסף הסימטריות של פוליגון משוכלל, אוסף הפולינומים עם מקדמים רציונליים וכדומה.

במסגרת מחקר המבנים האלגבריים בוחרים להתבונן רק על מספר תכונות יסוד (המכונות אקסיומות) המשותפות לקבוצה גדולה של עצמים, ולבדוק אילו תכונות נוספות נובעות מתכונות יסוד אלו. לתוצאות שמושגות במסגרת המחקר שימושים רבים הן בתחום המתמטיקה הטהורה והן בתחומים מדעיים אחרים, ובפרט פיזיקה.

ידע קודם

הלימוד הבסיסי של מבנים אלגבריים מתבצע לרוב במהלך תואר ראשון במתמטיקה. אף שלא נדרש כמעט שום ידע קודם ספציפי, נסיון כלשהו במתמטיקה הוא חשוב ואולי אף הכרחי, כלומר, יש צורך לדעת לכתוב הוכחות מתמטיות פורמליות, לוגיקה בסיסית ואינטואיציה טובה של תורת הקבוצות. כן רצויה בקיאות כלשהי באלגברה בסיסית - למשל, פתרון משוואות בשני נעלמים.

ראוי לציין, בחלק מהדוגמאות בספר יש צורך בהבנה של אלגברה לינארית, על דוגמאות אלו ניתן לדלג מבלי להפסיד חומר רלבנטי.

רצוי ואף לעיתים דרוש, לעיין בפרקי ההקדמה של הספר שמכינים את הקורא ברקע מתמטי רלבנטי להמשך הספר.