הקדמה:
- המטרה היא למצוא ערכי ביניים של פונקציה מתוך ערכים בדידים ידועים ומדוייקים.
- מתוך N+1 נקודות ידועות נתאים עקום
שעובר דרך הנקודות. העקום ימצא ע"י אינטרפולציה פולינומית.
לאחר התאמת העקום ניתן למצוא את ערכי הבינים
כאשר
הוא הפולינום/ הקירוב שמצאנו ו-
הוא הפונקציה האמיתית/ הערך שאנחנו מחפשים.
מתי:
- תוצאות ניסויים - ערכים בדידים ולא פונקציה מדוייקת.
- פתרונות נומריים למשוואות דיפרנציאליות מצריכות אותנו להשתמש בשיטה זו.
- ערכים מטבלאות - אם נרצה לדעת ערך בין 2 ערכים ידועים וכדומה.
שיטות:
1) פולינום לגרנז'
2) פולינום ניוטון
3) Splines
מציאת עקום האינטרפולציה: הפולינום
דרך N+1 נקודות עובר אך ורק פולינום יחיד.
1) פולינום לגרנז'
המקרה הכללי:
הפולינום:
כופלי לגרנז':
עבור 2 נקודות:
כופלי לגרנז':
פולינום האיטרפולציה:
- הפולינום עובר דרך שתי הנקודות.
חסרון השיטה: בהתווסף נתון נוסף (נקודה נוספת) יש לבצע את החישוב מחדש.
2) פולינום ניוטון - דרך נוספת לבטא פולינום
- הקשר בין פולינומים מדרגות שונות עוזר לנו למצוא את ערכי
![{\displaystyle \ b_{0},b_{1},\cdots ,b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e87106b231d2c48bc0ee7c241a6073b037d107)
- פונקציית ההפרשים הסופיים: טכניקת חישוב לערכי b
נגדיר:
פונקציה הפרשים סופיים.
- אם בשאלה נתונות נקודות רבות ויש פולינום מסדר גבוה - אז שיטה זו פחות רצויה.
- פונקצית ההפרשים הסופיים מבוססת על חישוב רקורסיבי - ישום יעיל כאלגוריתם תכנותי.
3) שיטת ה- Splines
- כללי: נחלק את התחום למקטעים ולכל מקטע נתאים פולינום.
עבור N+1 נקודות יהיה N מקטעים ולכן גם N פולינומים.
- בין כל שני פולינומים (מקטעים) נדרוש:
- רציפות בנקודת החיבור.
- רציפות הנגזרת בנקודת החיבור.
- נגזרת שניה רציפה.
- עבור spline קובי: נתונות n+1 נקודות.
- הפולינום:
- יש לנו 4n נעלמים (מספר הפולינום) ולכן דורשים 4n משוואות.
- המשוואות:
- נדרוש שהפולינום יעברו דרך הנקודות הנתונות ונדרוש רציפות:
![{\displaystyle \ P_{i}(x_{i})=P_{x+1}(x_{i})=f(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b95e8adf2d788e63e5c0077765a6688cbaf7676)
(2n משוואות, עבור נקודת קצה תהיה משוואה אחת בלבד).
- נדרוש רציפות הנגזרת הראשונה בין כל שני מקטעים:
![{\displaystyle \ P'_{i}(x_{i})=P'_{i+1}(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef0797e71a156a99bc0fff709230cf9fea0b2c5)
(n-1 משוואות)
- רציפות הנגזרת השניה בנקודות פנימיות:
![{\displaystyle \ P''_{i}(x_{i})=P''_{(i+1)}(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5677257825742f70252a5ea12e8ce4563e1c75f)
(n-1 משוואות)
- תנאי גבול
- קו ישר בנקודות הקצה