חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/רציפות

באופן אינטואיטיבי, פונקציה נקראת רציפה אם ניתן לצייר אותה בקטע בלי להרים את העט.

לדוגמא, הפונקציה $f(x)={\frac {1}{x}}$ לא־רציפה בקטע $[-1,1]$ כי נצטרך להרים את העט במעבר בין השליליים לחיוביים.

עוד דוגמא לפונקציה לא־רציפה היא $f(x)={\frac {x}{x}}$ והיא לא־רציפה על כל הישר הממשי כיון שנצטרך להרים את העט לקראת ההגעה שלנו ל־$x=0$ ואז לחזור ולכתוב בצד השני של ה"חור" הזה.

ההגדרה הזאת של "להרים את העט" ממש לא־פורמלית ולא קבילה, ולכן ננסה להגדיר רציפות של פונקציה בקטע בתור רציפות שלה בכל נקודה ונקודה. איך נגדיר רציפות של פונקציה בנקודה? אם הפונקציה מתקרבת יותר ויותר לערך שהיא בסופו של דבר מקבלת, ככל שהיא מתקרבת לנקודה מסוימת.

הגדרה

פונקציה $f(x)$ נקראת רציפה בנקודה $x_{0}$ אם מתקיים $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ .

פונקציה נקראת רציפה בקטע $[a,b]$ אם לכל $x_{0}$ בקטע, הפונקציה רציפה ב־$x_{0}$ .

נסתכל על $f(x)={\frac {x}{x}}$ . נראה כי $\lim _{x\to 0}f(x)=1$ אבל $f(0)$ לא־מוגדר. לכן הפונקציה לא־רציפה בנקודה, ובפרט בכל הישר הממשי.

מיון נקודות אי־רציפות

תהי פונקציה לא־רציפה ב־$x_{0}$ . נחלק ל־3 מקרים שונים שיכול להיות אז:

• נקודת אי־רציפות סליקה (או מסוג 0) – אם קיים (במובן הצר, כלומר, לא אינסופי) $\lim _{x\to x_{0}}f(x)\neq f(x_{0})$ . דוגמא לכך היא פונקציה $f(x)={\frac {x}{x}}$ שבה $x=0$ נקודת אי־רציפות כזו.
• נקודת אי־רציפות מסוג ראשון – אם קיימים (במובן הצר) הגבולות $\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)\neq \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)$ . דוגמא לכך היא פונקציית הסימן

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}1&:x>0\\0&:x=0\\-1&:x<0\end{cases}}$

הנקודה $x=0$ היא אי־רציפות כזו כיון שהגבול החד־צדדי מהצד השלילי הוא $-1$ אבל הגבול החד־צדדי מהצד החיובי הוא $\lim _{x\to 0^{+}}\operatorname {sgn}(x)=1$ והרי $-1\neq 1$ .

• נקודת אי־רציפות מסוג שני – כל מקרה אחר. כלומר, לפחות אחד הגבולות החד־צדדיים לא קיים במובן הצר.