הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/אריתמטיקה והרכבה של פונקציות רציפות

הגדרת רציפות

פונקציה $f$ רציפה בנקודה $a$ אם היא קיים לה גבול בנקודה, והיא מוגדרת וערכה שווה לערך הגבול. כלומר:

$$\lim \limits _{x\to a}f(x)=f(a)$$

משפט (סכום והפרש של פונקציות רציפות)

אם $f,g$ רציפות בנקודה $a$ , אזי $f\pm g$ רציפה בנקודה $a$ .

הוכחה

כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים, ניתן להשתמש בגבול של סכום והפרש ונקבל:

$$\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\pm g(x){\Big ]}=\lim _{x\to a}f(x)\pm \lim _{x\to a}g(x)=f(a)\pm g(a)$$

$\blacksquare$

משפט (מכפלת פונקציות רציפות)

אם $f,g$ רציפות בנקודה $a$ , אזי $f\cdot g$ רציפה בנקודה $a$ .

הוכחה

כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים, ניתן להשתמש בגבול של מכפלה ונקבל:

$$\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x)=f(a)\cdot g(a)$$

$\blacksquare$

משפט (מנת פונקציות רציפות)

אם $f,g$ רציפות בנקודה $a$ ו־$g(a)\neq 0$ , אזי ${\frac {f}{g}}$ רציפה בנקודה $a$ .

הוכחה

כיון ששני גבולות אלו קיימים וסופיים ו־$g(a)\neq 0$ , ניתן להשתמש בגבול של מנה ונקבל:

$$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to a}f(x)}{\lim \limits _{x\to a}g(x)}}={\frac {f(a)}{g(a)}}$$

$\blacksquare$

משפט (הרכבה של פונקציות רציפות)

אם $\lim _{x\to x_{0}}g(x)=z_{0}$ ו־$f$ רציפה ב־$z_{0}$ (כלומר $\lim _{x\to z_{0}}f(x)=f(z_{0})$), אזי $\lim _{x\to x_{0}}(f\circ g)(x)=f{\bigl (}\lim _{x\to x_{0}}g(x){\bigr )}=f(z_{0})$ .

הוכחה בלשון $\varepsilon ,\delta$

יהי $\varepsilon >0$ . נתון כי $f$ רציפה בנקודה $z_{0}$ , לכן קיים $\delta _{1}>0$ כך שלכל$|z-z_{0}|<\delta _{1}$ מתקיים ${\bigl |}f(z)-f(z_{0}){\bigr |}<\varepsilon$ ‏(1).

כמו־כן, נתון $\lim _{x\to x_{0}}g(x)=z_{0}$ ולכן קיים $\delta _{2}>0$ כך שלכל $x$ המקיים $0<|x-x_{0}|<\delta _{2}$ מתקיים ${\bigl |}g(x)-z_{0}{\bigr |}<\delta _{1}$ ‏(2).

מ־(2) נסיק כי לכל $x$ המקיים $0<|x-x_{0}|<\delta _{2}$ מתקיים ${\bigl |}g(x)-z_{0}{\bigr |}<\delta _{1}$ ולכן עבור $z=g(x)$ נקבל מ־(1) כי ${\bigl |}f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f(z_{0}){\bigr |}<\varepsilon$ כדרוש.

$\blacksquare$

הוכחה בלשון סדרות

בכדי להראות כי $(f\circ g)(x)$ רציפה ב־$x_{0}$ , מספיק להוכיח שלכל סדרה $\{x_{n}\}$ המקיימת $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$ אזי $\lim _{n\to \infty }f{\bigl (}g(x_{n}){\bigr )}=f{\bigl (}g(x_{0}){\bigr )}$ .

תהי $\{x_{n}\}$ סדרה המקיימת $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$ . על־פי הנתון $\lim _{n\to \infty }g(x_{n})=z_{0}$ . מאחר ו־$f$ רציפה ב־$z_{0}$ , מתקיים $\lim _{n\to \infty }f{\bigl (}g(x_{n}){\bigr )}=f(z_{0})$ . לכן $f{\bigl (}g(x){\bigr )}$ רציפה ב־$x_{0}$ .

$\blacksquare$