- משפט
הסדרה
מתכנסת (לגבול סופי) אם ורק אם היא סדרת קושי. כלומר, היא מתכנסת אם ורק אם לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
- הוכחה
נניח כי
. לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
. נבחר מספרים
ונקבל כי
![{\displaystyle |a_{n}-a_{m}|={\Big |}a_{n}-L+L-a_{m}{\Big |}\leq |a_{n}-L|+|a_{m}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5790a367a70217ec2efce941681044bb68e45b18)
המעבר השני הוא שימוש באי־שוויון המשולש. אזי הסדרה היא סדרת קושי.
נניח כי
היא סדרת קושי. ראשית, נוכיח כי היא חסומה. לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
. אזי לכל
מתקיים
אז הסדרה חסומה בקטע
. בקטע
יש לסדרה רק מספר סופי של אברים ולכן היא חסומה שם. לפיכך, הסדרה חסומה על כל הישר הממשי.
על־פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה חסומה יש תת־סדרה מתכנסת. לכן לסדרה יש תת־סדרה המתכנסת לגבול שנסמנו
.
נוכיח כי זהו למעשה הגבול של הסדרה. נסמן את תת־הסדרה
. קיים
כך שלכל
מתקיים
.
מהתכנסות תת־הסדרה נקבל כי לכל
מתקיים
.
אזי לכל
מתקיים
![{\displaystyle |a_{n}-L|={\Big |}a_{n}-a_{m_{k}}+a_{m_{k}}-L{\Big |}\leq {\bigl |}a_{n}-a_{m_{k}}{\bigr |}+{\bigl |}a_{m_{k}}-L{\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e73855a298935429abdb0f31c4246250df5327)
לכן
.