לדלג לתוכן

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/סדרה מתכנסת אמ"מ היא סדרת קושי

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משפט

הסדרה מתכנסת (לגבול סופי) אם ורק אם היא סדרת קושי. כלומר, היא מתכנסת אם ורק אם לכל קיים כך שלכל מתקיים .

הוכחה

נניח כי . לכל קיים כך שלכל מתקיים . נבחר מספרים ונקבל כי

המעבר השני הוא שימוש באי־שוויון המשולש. אזי הסדרה היא סדרת קושי.


נניח כי היא סדרת קושי. ראשית, נוכיח כי היא חסומה. לכל קיים כך שלכל מתקיים . אזי לכל מתקיים אז הסדרה חסומה בקטע . בקטע יש לסדרה רק מספר סופי של אברים ולכן היא חסומה שם. לפיכך, הסדרה חסומה על כל הישר הממשי.

על־פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה חסומה יש תת־סדרה מתכנסת. לכן לסדרה יש תת־סדרה המתכנסת לגבול שנסמנו .

נוכיח כי זהו למעשה הגבול של הסדרה. נסמן את תת־הסדרה . קיים כך שלכל מתקיים .

מהתכנסות תת־הסדרה נקבל כי לכל מתקיים .

אזי לכל מתקיים

לכן .