הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מכפלת פונ' אפסה בחסומה מתכנסת לאפס

משפט

אם $\lim _{x\to a}f(x)=0$ ומתקיים כי $g(x)$ חסומה בסביבה מנוקבת של $a$ , אזי $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\!\cdot \!g(x){\Big ]}=0$ .

הוכחה

מתקיים ${\bigl |}g(x){\bigr |}\leq M$ או $-M\leq g(x)\leq M$ .

נכפיל את אי־השוויון ב־$f(x)$ (הפונקציה לא בהכרח חיובית בכל נקודה, אך אי־השוויון נכון גם במקרה והיא שלילית) ונקבל:

$$0\leftarrow -M\cdot \!|f(x)|\leq f(x)\!\cdot \!g(x)\leq M\!\cdot \!|f(x)|\to 0$$

לכן לפי כלל הסנדוויץ' $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\!\cdot \!g(x){\Big ]}=0$ .

$\blacksquare$