הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מונוטוניות גוררת גבול באינסוף במובן הרחב

משפט

אם $f(x)$ היא פונקציה מונוטונית עולה, אז יש לה גבול (סופי או אינסופי).

הערה: המשפט נכון באופן מקביל עבור פונקציה מונוטונית יורדת, וכן עבור סדרות.

הוכחה

נחלק לשני מקרים:

• $f(x)$ חסומה מלעיל. במקרה זה, הפונקציה מתכנסת לגבול סופי כיון שחסימות ומונוטוניות גוררת קיום גבול סופי באינסוף.

• $f(x)$ אינה חסומה מלעיל. כלומר, לכל $M>0$ קיים $x_{0}$ כך ש- $f(x_{0})>M$ . הפונקציה מונוטונית עולה ולכן לכל $x>x_{0}$ מתקיים $f(x)\geq f(x_{0})$ .

כלומר לכל $M>0$ קיים $x_{0}$ כך שלכל $x>x_{0}$ מתקיים $f(x)>M$ . זוהי ההגדרה של $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$ .

$\blacksquare$