גבול של סכום סדרות[עריכה]
- משפט
תהיינה
סדרות המקיימות
כשהגבולות סופיים.
אזי
.
- הוכחה
עלינו להוכיח כי לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
נסמן
. כעת לכל
מתקיים לפי אי־שוויון המשולש:
![{\displaystyle {\Big |}(a_{n}\pm b_{n})-(A\pm B){\Big |}={\Big |}a_{n}-A\pm b_{n}\mp B{\Big |}\ {\color {red}\leq }\ |a_{n}-A|+|b_{n}-B|\ {\color {red}<}\ {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60dd56f458f1d368736be4e4957550b77458dec0)
הערות להוכחה:
- בהוכחה זו, הכל היה נתון לנו בצורה מתמטית. פעמים רבות ניתקל בהוכחות המנוסחות בצורה מילולית, ויהא עלינו לכתוב אותן בצורה מתמטית.
- הערה נוספת בהקשר זה: כשכל הנתונים מוצגים בצורה מתמטית, עלינו לוודא שאנו מבינים היטב את משמעותם. למשל, במקרה זה כתוב בעצם
- "נתונות הסדרות
המתכנסות לגבולות
בהתאמה". חשוב להבין את הנתון גם מבחינה רעיונית.
גבול של מכפלת סדרות[עריכה]
- משפט
תהיינה
סדרות המקיימות
כשהגבולות סופיים.
אזי
- הוכחה
יהי
. עלינו להוכיח כי לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\bigl |}a_{n}\!\cdot \!b_{n}-A\!\cdot \!B{\bigr |}={\Big |}a_{n}\!\cdot \!b_{n}-A\!\cdot \!b_{n}+A\!\cdot \!b_{n}-A\!\cdot \!B{\Big |}={\Big |}b_{n}(a_{n}-A)+A(b_{n}-B){\Big |}\\{\color {red}\leq }\ {\bigl |}b_{n}(a_{n}-A){\bigr |}+{\bigl |}A(b_{n}-B){\bigr |}=|b_{n}|\!\cdot \!|a_{n}-A|+|A|\!\cdot \!|b_{n}-B|\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d66cbbb450d39738aa14664543dc8bf6c28db63)
מתכנסת ולכן חסומה, לכן קיים
כלשהו כך שלכל
מתקיימים בו זמנית המקרים
וגם
.
קיים
כך שלכל
שמתקיים
.
קיים
כך שלכל
שמתקיים
.
נסמן
. לפיכך,
![{\displaystyle {\Big |}a_{n}\!\cdot \!b_{n}-A\!\cdot \!B{\Big |}\ {\color {red}\leq }\ |b_{n}|\!\cdot \!|a_{n}-A|+|A|\!\cdot \!|b_{n}-B|\ {\color {red}<}\ M|a_{n}-A|+M|b_{n}-B|\ {\color {red}<}\ M\cdot {\frac {\varepsilon }{2M}}+M\cdot {\frac {\varepsilon }{2M}}=\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d60ea45af8a83f12d39206a9a52d270b8ffdd0c)