חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/הגדרת הנגזרת: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Gelid123 (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
YaGoo (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
== שיפוע של פונקציה לא ליאנרית ==
== שיפוע של פונקציה לא לינארית ==
עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: <math>m={y_2-y_1 \over x_2-x_1}</math>.
לפונקציות לא ליאנריות השיפוע אינו קבוע, מכיוון שאם נבחר שתי נקודות עליה ונחשב את השיפוע ואז נבחר שתי נקודות אחרות עליה לא תמיד נקבל אותה תוצאה
<br>
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה.
<br />
<br />

הנוסחה היא כנלמד <math>m={y_2-y_1 \over x_2-x_1}</math>
<br />
נכליל לפונקציה רגילה:נסמן ב<math>\Delta x</math> את המהרחק בין שני הנקודות על ציר הX ובf את הפונקציה
<br />
<math>m={f(\Delta x+x)-f(x) \over \Delta x}</math>
==הגדרת הנגזרת==
==הגדרת הנגזרת==
נכליל את הגדרת השיפוע עבור פונקציה כללית. תהי f פונקציה כלשהי, ו-<math>\Delta x</math> הפרש שיעורי ה-X של שתי נקודות עליה.
ככל ש <math>\Delta x</math> קטן הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק ולכן המשיק הוא הגבול<br />

נסכם ונגדיר את הנגזרת כשיפוע שתי נקודות על פונקציה המתלכדות,כלומר של נקודה אחת <math>f'\left( x \right) =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+\Delta x \right) -f\left( x \right) }{ \Delta x } } </math>
השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת:
==דוגמות==
<math>m={f(x+\Delta x)-f(x) \over (x+\Delta x)-x}={f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}</math>
גזור את הפונקציה <math>y=x^2</math> <br />

===תשובה===
ככל ש-<math>\Delta x</math> קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.<br />
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.<br>
<math>f'\left( x \right) =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+\Delta x \right) -f\left( x \right) }{ \Delta x } } </math>
<br>
<br>אם נסמן <math>h=\Delta x</math>, נקבל:<br><br>
<math>f'\left( x \right) =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } } </math>
==דוגמא==
גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה: <math>y=x^2</math>:
<br>
<math>\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { { \left( x+\Delta x \right) }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ \Delta x } } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { 2x\Delta x+{ \Delta x }^{ 2 } }{ \Delta x } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { 2x\Delta x }{ \Delta x } } } +\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { { \Delta x }^{ 2 } }{ \Delta x } } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ 2x } +\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \Delta x } =2x+0=2x</math>
<math>\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { { \left( x+\Delta x \right) }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ \Delta x } } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { 2x\Delta x+{ \Delta x }^{ 2 } }{ \Delta x } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { 2x\Delta x }{ \Delta x } } } +\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { { \Delta x }^{ 2 } }{ \Delta x } } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ 2x } +\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \Delta x } =2x+0=2x</math>

גרסה מ־23:42, 12 ביולי 2012

שיפוע של פונקציה לא לינארית

עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: .
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה.

הגדרת הנגזרת

נכליל את הגדרת השיפוע עבור פונקציה כללית. תהי f פונקציה כלשהי, ו- הפרש שיעורי ה-X של שתי נקודות עליה.

השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת:

ככל ש- קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.


אם נסמן , נקבל:

דוגמא

גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה: :