חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/הגדרת הנגזרת: הבדלים בין גרסאות בדף
< חשבון אינפיניטסימלי | נגזרת
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
== שיפוע של פונקציה לא |
== שיפוע של פונקציה לא לינארית == |
||
⚫ | |||
לפונקציות לא ליאנריות השיפוע אינו קבוע, מכיוון שאם נבחר שתי נקודות עליה ונחשב את השיפוע ואז נבחר שתי נקודות אחרות עליה לא תמיד נקבל אותה תוצאה |
|||
⚫ | |||
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה. |
|||
<br /> |
<br /> |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
נכליל לפונקציה רגילה:נסמן ב<math>\Delta x</math> את המהרחק בין שני הנקודות על ציר הX ובf את הפונקציה |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
==הגדרת הנגזרת== |
==הגדרת הנגזרת== |
||
נכליל את הגדרת השיפוע עבור פונקציה כללית. תהי f פונקציה כלשהי, ו-<math>\Delta x</math> הפרש שיעורי ה-X של שתי נקודות עליה. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת: |
|||
==דוגמות== |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
===תשובה=== |
|||
⚫ | |||
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.<br> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
<br>אם נסמן <math>h=\Delta x</math>, נקבל:<br><br> |
|||
<math>f'\left( x \right) =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } } </math> |
|||
==דוגמא== |
|||
⚫ | |||
<br> |
|||
<math>\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { { \left( x+\Delta x \right) }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ \Delta x } } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { 2x\Delta x+{ \Delta x }^{ 2 } }{ \Delta x } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { 2x\Delta x }{ \Delta x } } } +\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { { \Delta x }^{ 2 } }{ \Delta x } } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ 2x } +\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \Delta x } =2x+0=2x</math> |
<math>\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { { \left( x+\Delta x \right) }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ \Delta x } } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { 2x\Delta x+{ \Delta x }^{ 2 } }{ \Delta x } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { 2x\Delta x }{ \Delta x } } } +\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { { \Delta x }^{ 2 } }{ \Delta x } } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ 2x } +\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \Delta x } =2x+0=2x</math> |
גרסה מ־23:42, 12 ביולי 2012
שיפוע של פונקציה לא לינארית
עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: .
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה.
הגדרת הנגזרת
נכליל את הגדרת השיפוע עבור פונקציה כללית. תהי f פונקציה כלשהי, ו- הפרש שיעורי ה-X של שתי נקודות עליה.
השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת:
ככל ש- קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.
אם נסמן , נקבל:
דוגמא
גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה: :