מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
'''אמא שך עלייי''' |
|||
==רענון== |
|||
בשאלון 005 חקרנו משוואה ריבועית. נזכיר כי משוואה ריבועית היא משוואה ממעלה שנייה שצורתה הכללית היא : <math>y=ax^2+bx+c</math>, המייצגת פרבולה. אולם, גילנו גם כי נוסחת יכולה להציג משוואה לינארית, ולכן, במהלך חקירתנו בדקנו שני תנאים : |
|||
# '''כאשר הנוסחא מציגה פרבולה - ''' מקדם ה-<math>X^2</math> שונה מאפס (<math>a\ne0</math>). |
|||
# '''כאשר הנוסחא מייצגת [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|פונקציה]] [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|ישרה/פונקציה ממעלה ראשונה]] -''' כיוון שהפונקציה ממעלה ראשונה (אין מספרים בריבוע) : <math>a=0</math>. |
|||
לאחר מכן, חקרנו כל אחת מ[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|הפונקציות]] בנפרד והסקנו מסקנות עבור המשוואה הריבועית.<br /> |
|||
בניגוד לפרק בו חקרנו '''משוואה''' ריבועית, בפרק זה נחקור '''רק פונקציה''' ריבועית, ולכן, התנאי הבסיסי שלנו הוא ש<math>a\ne0</math>. |
|||
==תיאור הפונקציה== |
==תיאור הפונקציה== |
גרסה מ־15:16, 12 במאי 2011
אמא שך עלייי
תיאור הפונקציה
כאמור, פונקציה ריבועית, היא פונקציה שמקורה ממשואה ריבועית. 3 מרכיבים בולטים בה :
- קודקוד הפרבולה/מוקד.
- ישר הסימטריה של הפרבולה/ישר מנחה - זהו ישרה היוצא מקודקוד הפרבולה.
- שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה.
תחום הגדרה
- - בכדי שפונקציה ריבועית תהיה פונקציה ריבועית, חייב להיות מספר בריבוע.
נקודות חיתוך עם הצירים
מציאת נקודת חיתוך עם ציר X
- בדיקה סוג הפרבולה ישרה או (a>0) הפוכה (a<0).
- הצבה y=0.
- מציאת ערכי X עבורם y=0 באמצעות טכניקות שונות כגון: טרינום, פירוק לגורמים ועוד.
- שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
- ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה : "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").
מציאת נקודת חיתוך עם ציר Y
- הצבה X=0.
- פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
- חיתוך עם ציר Y - פתרון יחיד.
- אין חיתוך עם ציר Y - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=2.
ההבדל בין חקירת משוואה ממעלה שנייה לפרבולה - שלושת המצבים
בנושא חקירת משוואה ממעלה שנייה הועלה נושא "שלושת המצבים של המשוואה", כזכור שלושת המצבים הם :
- כאשר יש שתי נקודות חיתוך.
- כאשר יש נקודת חיתוך אחת (שימו לב, ישנם פעמים בהם שואלים : באילו ערכי X לפונקציה הבאה יש נקודת חיתוך אחת? – יש צורך גם לבדוק עבור פונקציה ממעלה ראשונה).
- כאשר אין נקודות חיתוך.
בכדי לגלות מתי לפונקציה יש שתי, נקודה או אין בכלל נקודות חיתוך עם ציר ה-X פתרנו את המשוואה .
שימוש בדרך זו אינה יעילה כיוון שהיא רק מציינת בפנינו : האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה-X? כמה נקודות?
דוגמא
לפנינו הפרבולה : .
בכדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X נשווה אותה לאפס. השלבים :
- הפונקציה :
- פונקצית ציר איקס :
- נשווה בין הפונקציות :
- נעזר בנוסחאת הכפל המקוצר
- נפתור :
בכדי לגלות איזה סוג של נקודות חיתוך יש לה עם ציר ה-X, נעזר בדלתא. השלבים :
- הפונקציה :
- נגלה את דלתא :
- נפתח :
- נצמצם :
- המצב : , כלומר לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-X. נקודה זו מצאנו בדרך של השוואה.
תחום שלילי וחיובי
- רשימת אי שיוויון על פי הדרישה :
- תחום חיובי - רשימה אי שיוויון ריבועי כך : .
- תחום שלילי - רשימה אי שיוויון ריבועי כך : .
- מציאת נקודות חיתוך עם ציר X.
- שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה")
- קביעת תחום - סימון התחום הנדרש :
סימונים
נזכיר כיצד מסמנים תחום.
ההתבנית המשותפת : {X|התחום}.
סוגי סוגרים :
- () - לא כולל המספרים הרשומים (כלומר : >או<).
- [] - כולל המספרים הרשומים (כלומר : או )
- [)/(] - שילוב של שני הסוגרים ע"פ כולל או לא כולל.
נקודת הקיצון/קודקוד הפרבולה/מוקד
דרך א'
ערך הנקודה
שיעור X של קודקוד הפרבולה : .
שיעור Y של קודקוד הפרבולה :
סוג נקודת קיצון
- מינמום - a>0.
- מקסימום - a<0.
דרך ב'
מציאת נגזרת הפרבולה ע"פ כללי הגזירה. השלבים :
- גזירה.
- מציאת סוג הנקודה ע"פ גזירה שנייה או טבלה (3 מספרים : הנקודה עצמה, נקודה לפני ונקודה אחרי).
- סימון על גרף מיקום.
- סימון מקסימום מינמום על הגרף.
נקודות פיתול
לפונקציה ממעלה שנייה אין נקודות פיתול.
תחומי עלייה וירידה
שתי דרכים :
- ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
- פתרית משוואה :
- פרבולה ישרה - יורדת כאשר ועולה כאשר .
- פרבולה הפוכה - יורדת כאשר ועולה כאשר .
אסיפטוטות
אין.
תיאור גרפי
ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, הפרבולה צרה יותר
פרבולה + c
פרבולה בעלות נעלם ממעלה ראשונה
פרבולות בעלות נעלם ממעלה ראשונה. ישנם שני סוגים אפשריים:
- פרבולות שמבוטאות באמצעות כפל מקוצר, כלומר,
- פרבולות מהצורה :
-
כאשר b שלילי – הפרבולה זזה לכיוון ימין
-
כאשר b חיובי – הפרבולה זזה לכיוון שמאל.