מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
'''אמא שך עלייי'''
==רענון==
בשאלון 005 חקרנו משוואה ריבועית. נזכיר כי משוואה ריבועית היא משוואה ממעלה שנייה שצורתה הכללית היא : <math>y=ax^2+bx+c</math>, המייצגת פרבולה. אולם, גילנו גם כי נוסחת יכולה להציג משוואה לינארית, ולכן, במהלך חקירתנו בדקנו שני תנאים :
# '''כאשר הנוסחא מציגה פרבולה - ''' מקדם ה-<math>X^2</math> שונה מאפס (<math>a\ne0</math>).
# '''כאשר הנוסחא מייצגת [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|פונקציה]] [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|ישרה/פונקציה ממעלה ראשונה]] -''' כיוון שהפונקציה ממעלה ראשונה (אין מספרים בריבוע) : <math>a=0</math>.
לאחר מכן, חקרנו כל אחת מ[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|הפונקציות]] בנפרד והסקנו מסקנות עבור המשוואה הריבועית.<br />
בניגוד לפרק בו חקרנו '''משוואה''' ריבועית, בפרק זה נחקור '''רק פונקציה''' ריבועית, ולכן, התנאי הבסיסי שלנו הוא ש<math>a\ne0</math>.


==תיאור הפונקציה==
==תיאור הפונקציה==

גרסה מ־15:16, 12 במאי 2011

אמא שך עלייי

תיאור הפונקציה

כאמור, פונקציה ריבועית, היא פונקציה שמקורה ממשואה ריבועית. 3 מרכיבים בולטים בה :

  1. קודקוד הפרבולה/מוקד.
  2. ישר הסימטריה של הפרבולה/ישר מנחה - זהו ישרה היוצא מקודקוד הפרבולה.
  3. שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה.

תחום הגדרה

  1. - בכדי שפונקציה ריבועית תהיה פונקציה ריבועית, חייב להיות מספר בריבוע.

נקודות חיתוך עם הצירים

מציאת נקודת חיתוך עם ציר X

  1. בדיקה סוג הפרבולה ישרה או (a>0) הפוכה (a<0).
  2. הצבה y=0.
  3. מציאת ערכי X עבורם y=0 באמצעות טכניקות שונות כגון: טרינום, פירוק לגורמים ועוד.
  4. שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
  5. ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה : "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").

מציאת נקודת חיתוך עם ציר Y

  1. הצבה X=0.
  2. פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
    • חיתוך עם ציר Y - פתרון יחיד.
    • אין חיתוך עם ציר Y - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=2.

ההבדל בין חקירת משוואה ממעלה שנייה לפרבולה - שלושת המצבים

דוגמא לשלושת המצבים

בנושא חקירת משוואה ממעלה שנייה הועלה נושא "שלושת המצבים של המשוואה", כזכור שלושת המצבים הם :

  • כאשר יש שתי נקודות חיתוך.
  • כאשר יש נקודת חיתוך אחת (שימו לב, ישנם פעמים בהם שואלים : באילו ערכי X לפונקציה הבאה יש נקודת חיתוך אחת? – יש צורך גם לבדוק עבור פונקציה ממעלה ראשונה).
  • כאשר אין נקודות חיתוך.

בכדי לגלות מתי לפונקציה יש שתי, נקודה או אין בכלל נקודות חיתוך עם ציר ה-X פתרנו את המשוואה .

שימוש בדרך זו אינה יעילה כיוון שהיא רק מציינת בפנינו : האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה-X? כמה נקודות?

דוגמא

לפנינו הפרבולה : .

בכדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X נשווה אותה לאפס. השלבים :

  • הפונקציה :
  • פונקצית ציר איקס :
  • נשווה בין הפונקציות :
  • נעזר בנוסחאת הכפל המקוצר
  • נפתור :

בכדי לגלות איזה סוג של נקודות חיתוך יש לה עם ציר ה-X, נעזר בדלתא. השלבים :

  • הפונקציה :
  • נגלה את דלתא :
  • נפתח :
  • נצמצם :
  • המצב : , כלומר לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-X. נקודה זו מצאנו בדרך של השוואה.

תחום שלילי וחיובי

קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר
כיתוב תמונה
  1. רשימת אי שיוויון על פי הדרישה :
  2. מציאת נקודות חיתוך עם ציר X.
  3. שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה")
  4. קביעת תחום - סימון התחום הנדרש :

סימונים

נזכיר כיצד מסמנים תחום.
ההתבנית המשותפת : {X|התחום}.
סוגי סוגרים :

  1. () - לא כולל המספרים הרשומים (כלומר : >או<).
  2. [] - כולל המספרים הרשומים (כלומר : או )
  3. [)/(] - שילוב של שני הסוגרים ע"פ כולל או לא כולל.

נקודת הקיצון/קודקוד הפרבולה/מוקד

דרך א'

ערך הנקודה

שיעור X של קודקוד הפרבולה : .

שיעור Y של קודקוד הפרבולה :

סוג נקודת קיצון

  1. מינמום - a>0.
  2. מקסימום - a<0.

דרך ב'

מציאת נגזרת הפרבולה ע"פ כללי הגזירה. השלבים :

  1. גזירה.
  2. מציאת סוג הנקודה ע"פ גזירה שנייה או טבלה (3 מספרים : הנקודה עצמה, נקודה לפני ונקודה אחרי).
  3. סימון על גרף מיקום.
  4. סימון מקסימום מינמום על הגרף.

נקודות פיתול

לפונקציה ממעלה שנייה אין נקודות פיתול.

תחומי עלייה וירידה

שתי דרכים :

  1. ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
  2. פתרית משוואה :
    • פרבולה ישרה - יורדת כאשר ועולה כאשר .
    • פרבולה הפוכה - יורדת כאשר ועולה כאשר .

אסיפטוטות

אין.

תיאור גרפי

ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, הפרבולה צרה יותר

ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר.

פרבולה + c

# כאשר K חיובי הפרבולה עולה – מעלה את ערך Y. # כאשר K שלילי הפרבולה יורדת – מוריד את ערך Y.

פרבולה בעלות נעלם ממעלה ראשונה

פרבולות בעלות נעלם ממעלה ראשונה. ישנם שני סוגים אפשריים:

  1. פרבולות שמבוטאות באמצעות כפל מקוצר, כלומר,
  2. פרבולות מהצורה :