מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 44: שורה 44:


====דוגמא====
====דוגמא====
לפנינו הפרובלה : <math>y=X^2+6X+9</math>.
לפנינו הפרבולה : <math>y=X^2+6X+9</math>.


בכדי '''למצוא את נקודות החיתוך''' עם ציר ה-X נשוואה אותה לאפס. השלבים :
בכדי '''למצוא את נקודות החיתוך''' עם ציר ה-X נשווה אותה לאפס. השלבים :
* הפונקציה : <math>y=X^2+6X+9</math>
* הפונקציה : <math>y=X^2+6X+9</math>
* פונקצית ציר איקס : <math>y=0</math>
* פונקצית ציר איקס : <math>y=0</math>
*נשוואה בין הפונקציות : <math>X^2+6X+9=0</math>
*נשווה בין הפונקציות : <math>X^2+6X+9=0</math>
*נעזר בנוסחאת הכפל המקוצר <math>(x+3)^2=0</math>
*נעזר בנוסחאת הכפל המקוצר <math>(x+3)^2=0</math>
*נפתור : <math>x=-3</math>
*נפתור : <math>x=-3</math>

גרסה מ־23:12, 10 במאי 2011

רענון

בשאלון 005 חקרנו משוואה ריבועית. נזכיר כי משוואה ריבועית היא משוואה ממעלה שנייה שצורתה הכללית היא : , המייצגת פרבולה. אולם, גילנו גם כי נוסחת יכולה להציג משוואה לינארית, ולכן, במהלך חקירתנו בדקנו שני תנאים :

  1. כאשר הנוסחא מציגה פרבולה - מקדם ה- שונה מאפס ().
  2. כאשר הנוסחא מייצגת פונקציה ישרה/פונקציה ממעלה ראשונה - כיוון שהפונקציה ממעלה ראשונה (אין מספרים בריבוע) : .

לאחר מכן, חקרנו כל אחת מהפונקציות בנפרד והסקנו מסקנות עבור המשוואה הריבועית.
בניגוד לפרק בו חקרנו משוואה ריבועית, בפרק זה נחקור רק פונקציה ריבועית, ולכן, התנאי הבסיסי שלנו הוא ש.

תיאור הפונקציה

כאמור, פונקציה ריבועית, היא פונקציה שמקורה ממשואה ריבועית. 3 מרכיבים בולטים בה :

  1. קודקוד הפרבולה/מוקד.
  2. ישר הסימטריה של הפרבולה/ישר מנחה - זהו ישרה היוצא מקודקוד הפרבולה.
  3. שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה.

תחום הגדרה

  1. - בכדי שפונקציה ריבועית תהיה פונקציה ריבועית, חייב להיות מספר בריבוע.

נקודות חיתוך עם הצירים

מציאת נקודת חיתוך עם ציר X

  1. בדיקה סוג הפרבולה ישרה או (a>0) הפוכה (a<0).
  2. הצבה y=0.
  3. מציאת ערכי X עבורם y=0 באמצעות טכניקות שונות כגון: טרינום, פירוק לגורמים ועוד.
  4. שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
  5. ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה : "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").

מציאת נקודת חיתוך עם ציר Y

  1. הצבה X=0.
  2. פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
    • חיתוך עם ציר Y - פתרון יחיד.
    • אין חיתוך עם ציר Y - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=2.

ההבדל בין חקירת משוואה ממעלה שנייה לפרבולה - שלושת המצבים

דוגמא לשלושת המצבים

בנושא חקירת משוואה ממעלה שנייה הועלה נושא "שלושת המצבים של המשוואה", כזכור שלושת המצבים הם :

  • כאשר יש שתי נקודות חיתוך.
  • כאשר יש נקודת חיתוך אחת (שימו לב, ישנם פעמים בהם שואלים : באילו ערכי X לפונקציה הבאה יש נקודת חיתוך אחת? – יש צורך גם לבדוק עבור פונקציה ממעלה ראשונה).
  • כאשר אין נקודות חיתוך.

בכדי לגלות מתי לפונקציה יש שתי, נקודה או אין בכלל נקודות חיתוך עם ציר ה-X פתרנו את המשוואה .

שימוש בדרך זו אינה יעילה כיוון שהיא רק מציינת בפנינו : האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה-X? כמה נקודות?

דוגמא

לפנינו הפרבולה : .

בכדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X נשווה אותה לאפס. השלבים :

  • הפונקציה :
  • פונקצית ציר איקס :
  • נשווה בין הפונקציות :
  • נעזר בנוסחאת הכפל המקוצר
  • נפתור :

בכדי לגלות איזה סוג של נקודות חיתוך יש לה עם ציר ה-X, נעזר בדלתא. השלבים :

  • הפונקציה :
  • נגלה את דלתא :
  • נפתח :
  • נצמצם :
  • המצב : , כלומר לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-X. נקודה זו מצאנו בדרך של השוואה.

תחום שלילי וחיובי

קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר
כיתוב תמונה
  1. רשימת אי שיוויון על פי הדרישה :
  2. מציאת נקודות חיתוך עם ציר X.
  3. שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה")
  4. קביעת תחום - סימון התחום הנדרש :

סימונים

נזכיר כיצד מסמנים תחום.
ההתבנית המשותפת : {X|התחום}.
סוגי סוגרים :

  1. () - לא כולל המספרים הרשומים (כלומר : >או<).
  2. [] - כולל המספרים הרשומים (כלומר : או )
  3. [)/(] - שילוב של שני הסוגרים ע"פ כולל או לא כולל.

נקודת הקיצון/קודקוד הפרבולה/מוקד

דרך א'

ערך הנקודה

שיעור X של קודקוד הפרבולה : .

שיעור Y של קודקוד הפרבולה :

סוג נקודת קיצון

  1. מינמום - a>0.
  2. מקסימום - a<0.

דרך ב'

מציאת נגזרת הפרבולה ע"פ כללי הגזירה. השלבים :

  1. גזירה.
  2. מציאת סוג הנקודה ע"פ גזירה שנייה או טבלה (3 מספרים : הנקודה עצמה, נקודה לפני ונקודה אחרי).
  3. סימון על גרף מיקום.
  4. סימון מקסימום מינמום על הגרף.

נקודות פיתול

לפונקציה ממעלה שנייה אין נקודות פיתול.

תחומי עלייה וירידה

שתי דרכים :

  1. ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
  2. פתרית משוואה :
    • פרבולה ישרה - יורדת כאשר ועולה כאשר .
    • פרבולה הפוכה - יורדת כאשר ועולה כאשר .

אסיפטוטות

אין.

תיאור גרפי

ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, הפרבולה צרה יותר

ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר.

פרבולה + c

# כאשר K חיובי הפרבולה עולה – מעלה את ערך Y. # כאשר K שלילי הפרבולה יורדת – מוריד את ערך Y.

פרבולה בעלות נעלם ממעלה ראשונה

פרבולות בעלות נעלם ממעלה ראשונה. ישנם שני סוגים אפשריים:

  1. פרבולות שמבוטאות באמצעות כפל מקוצר, כלומר,
  2. פרבולות מהצורה :