מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Ybungalobill (שיחה | תרומות)
שורה 7: שורה 7:
[[קובץ:Linear function.JPG|right|thumb|100px| עבור אותה נקודת השקה,נקבל את אותו שיפוע מכל נקודה שקיימת על הפונקציה]]
[[קובץ:Linear function.JPG|right|thumb|100px| עבור אותה נקודת השקה,נקבל את אותו שיפוע מכל נקודה שקיימת על הפונקציה]]
[[קובץ:Tangent as Secant Limit.svg|left|thumb|200px|בפרבולה ניתן להעביר מספר משיקים]]
[[קובץ:Tangent as Secant Limit.svg|left|thumb|200px|בפרבולה ניתן להעביר מספר משיקים]]
בניגוד לפונקציה ישרה, לה יש שיפוע שאינו משתנה מנקודה לנקודה, אצל שאר הפונקציות ניתן להעביר מספר משיקים מנקודת ההשקה ולקבל ערך שיפוע שונה.
בניגוד לפונקציה לינארית (קו ישר), לה יש שיפוע שאינו משתנה מנקודה לנקודה, אצל שאר הפונקציות ניתן להעביר מספר מיתרים מנקודת ההשקה ולקבל ערך שיפוע שונה.
במילים אחרות, בפונקציה ישרה, ניתן לקחת כל שתי נקודות על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.
במילים אחרות, בפונקציה לינארית, ניתן להעביר מיתר בין כל שתי נקודות על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.


לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן, החליטו כי הנגזרת של שיפוע יקבע על פי המשיק הקצר ביותר (= '''ישר גבולי''') שניתן להעביר בין נקודת ההשקה לנקודה הקרובה ביותר אליה. כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''.
לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן, החליטו כי שיפוע יקבע על פי המיתר הקצר ביותר (= '''ישר גבולי''') שניתן להעביר בין נקודת ההשקה לנקודה הקרובה ביותר אליה. כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''. מיתר גבולי זה יקרא משיק.
<br /><br /><br />
<br /><br /><br />
==דוגמא==
==דוגמא==

גרסה מ־23:23, 11 באוגוסט 2010

נגזרת היא שיפוע לפונקציה שאינה דווקא פונקציה ישרה/לינארית (). מסומנת .
חשיבות הנגזרת : מסייעת לנו לחקור פונקציה נתונה ולמצוא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה, נקודות קיצון ועוד.
משיק - ישר העובר דרך נקודה כלשהי על העקומה וכיוונו זהה לכיוון העקומה באותה נקודה. המשיק הינו קו ישר הנוגע ("נושק") לפונקציה בנקודה, אך הוא לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר.
נקודת ההשקה - נקודה קבועה על הפונקציה ממנה מעבירים את המשיק. במהלך הפרק נסמן אותה כ : (a,b).

ה"בעיה" במציאת נגזרת

עבור אותה נקודת השקה,נקבל את אותו שיפוע מכל נקודה שקיימת על הפונקציה
בפרבולה ניתן להעביר מספר משיקים

בניגוד לפונקציה לינארית (קו ישר), לה יש שיפוע שאינו משתנה מנקודה לנקודה, אצל שאר הפונקציות ניתן להעביר מספר מיתרים מנקודת ההשקה ולקבל ערך שיפוע שונה. במילים אחרות, בפונקציה לינארית, ניתן להעביר מיתר בין כל שתי נקודות על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.

לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן, החליטו כי שיפוע יקבע על פי המיתר הקצר ביותר (= ישר גבולי) שניתן להעביר בין נקודת ההשקה לנקודה הקרובה ביותר אליה. כיוון שככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק. מיתר גבולי זה יקרא משיק.


דוגמא

הגדרות

הפונקציה :
- נקודת ההשקה : . נניח כי נקודת ההשקה שלנו היא .
- נקודה שנייה : - יכולה להיות כל הנקודות הקיימות על הפנקציה (פרט מנקודת ההשקה). השאיפה שלנו היא שהנקודה תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה בכדי שערך השיפוע יהיה המדוייק ביותר. במקרה שלנו (הצבה בפונקציה למציאת הקשר בין ל-), הנקודה היא .
השיפוע :

מציאת הנגזרת

  • מימן או משמאל? - נזכיר כי הנקודה B יכולה להיות מימן ל- או משמאלה.
    • אם הנקודה מימן ל- ערכי שלה גדולים מ-1 (מערך ).
    • אם הנקודה משמאל ל- ערכי ה- שלה קטנים מ-1 (מערך ).
  • נזכיר : ככל שהנקודה תהיה קרובה יותר לנקודת ההשקה, כך ערך השיפוע יהיה מדוייק יותר.

מימין :

0.9 0.8 0.7 X
1.9 1.8 1.7

ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2).

משמאל :

1.1 1.2 1.3 X
2.1 2.2 2.3

שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2) כיוון שככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק

טבלה

אם נביט בטבלה, נוכל לראות שוב כי ככל שערכי ה- מתקרבים לערך של אחד, כך, מגיעים אל ערך השיפוע המדויק יותר.

xyהנקודהשיפוע הישר
525(5,25)
416(4,16)
39(3,9)
24(2,4)
1.52.25(1.5,2.25)
1.31.69(1.3,1.69)
1.11.21(1.1,1.21)
1.051.1025(1.05,1.1025)
1.011.0201(1.01,1.0201)

גבול (lim)

התהליך ארוך; בנית טבלה, חישוב ערכים וניסיונות להגיע אל הנקודה הקרובה ביותר אל ערך של נקודת ההשקה - ארוך ומתיש!
חישוב המתבצע באמצעות מקצר את כל הדרך.

החישוב מתבצע כך : ופירוק לגורמים (m הוא השיפוע) :

  1. הפונקציה
  2. נקודת ההשקה .
  3. נקודה על הפונקציה : ,
  4. נחשב את השיפוע בין שתי הנקודות: .
  5. - נבדוק מה קורה לביטוי כאשר מתקרב מאוד ל-.

דוגמא

נמשיך בדוגמא לעיל. נחשב את ערך הנגזרת שלה באמצעות . על פי הנתונים :

טענו כי אנו שואפים שהנקודה השנייה (B), תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה (A). לכן, במקום לרשום את הערכים שקטנים וגדולים מ-XA (כפי שניתן בדוגמא למעלה), אנו אומרים כי XB שואף להיות XA (הנקודה הכי, הכי קרובה ל-XA - רוצה להיות שווה XA). נרשום זאת כך :

מעתה, אנו מתייחסים אל כשווה ל-.

נפרק את הגבול לגורמים ונקבל :

כיוון שטענו כי , נציב את בגבול. .

מכאן, ששיפוע הפונקציה הוא 2. בדיוק אותה מסקנה שגילנו בדרך הטבלאות.

נוסחאות גזירה

פונקציה גזירה

את נוסחא הגבול פיתחו וגילו "גזירות" (דרכים) דומות לפונקציות דומות. כיום, אנו מכירים דרכים שונים לגזירת נגזרות ללא צורך בנוסחאת ה-. לרשימה של פונקציות גזירה ראה נושא הבאה רשימת נגזרות והוכחתן.

פונקציה חדשה

קיים מגוון רחב של פונקציות, אך, רובן הן שילוב של שתים, שלוש ויותר, פונקציות. כלומר, אם נחבר שתי פונקציות (נחבר ערכים של נקודות הפונקציה), נוכל לקבל פונקציה חדשה - פונקצית סכום.
במהלך הכרך נלמד למצוא נגזרת של "פנקציה חדשה" בקלות. גם נושא זה יכלל בערך רשימת נגזרות והוכחתן.