מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ קישורים פנימיים
שורה 2: שורה 2:
בשאלון 005 חקרנו משוואה ריבועית. נזכיר כי משוואה ריבועית היא משוואה ממעלה שנייה שצורתה הכללית היא : <math>y=ax^2+bx+c</math>, המייצגת פרבולה. אולם, גילנו גם כי נוסחת יכולה להציג משוואה לינארית, ולכן, במהלך חקירתנו בדקנו שני תנאים :
בשאלון 005 חקרנו משוואה ריבועית. נזכיר כי משוואה ריבועית היא משוואה ממעלה שנייה שצורתה הכללית היא : <math>y=ax^2+bx+c</math>, המייצגת פרבולה. אולם, גילנו גם כי נוסחת יכולה להציג משוואה לינארית, ולכן, במהלך חקירתנו בדקנו שני תנאים :
# '''כאשר הנוסחא מציגה פרבולה - ''' מקדם ה-<math>X^2</math> שונה מאפס (<math>a\ne0</math>).
# '''כאשר הנוסחא מציגה פרבולה - ''' מקדם ה-<math>X^2</math> שונה מאפס (<math>a\ne0</math>).
# '''כאשר הנוסחא מייצגת [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|פונקציה]] [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|ישרה/פונקציה ממעלה ראשונה]] -''' כיוון שהפונקציה ממעלה ראשונה (אין מספרים בריבוע) : <math>a=0</math>.
# '''כאשר הנוסחא מייצגת [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|פונקציה]] [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|ישרה/פונקציה ממעלה ראשונה]] -''' כיוון שהפונקציה ממעלה ראשונה (אין מספרים בריבוע) : <math>a=0</math>.
לאחר מכן, חקרנו כל אחת מ[[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|הפונקציות]] בנפרד והסקנו מסקנות עבור המשוואה הריבועית.<br />
לאחר מכן, חקרנו כל אחת מ[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|הפונקציות]] בנפרד והסקנו מסקנות עבור המשוואה הריבועית.<br />
בניגוד לפרק בו חקרנו '''משוואה''' ריבועית, בפרק זה נחקור '''רק פונקציה''' ריבועית, ולכן, התנאי הבסיסי שלנו הוא ש<math>a\ne0</math>.
בניגוד לפרק בו חקרנו '''משוואה''' ריבועית, בפרק זה נחקור '''רק פונקציה''' ריבועית, ולכן, התנאי הבסיסי שלנו הוא ש<math>a\ne0</math>.


שורה 15: שורה 15:
# שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה.
# שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה.


==[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]]==
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]]==
# <math>a\ne 0</math> - בכדי שפונקציה ריבועית תהיה פונקציה ריבועית, חייב להיות מספר בריבוע.
# <math>a\ne 0</math> - בכדי שפונקציה ריבועית תהיה פונקציה ריבועית, חייב להיות מספר בריבוע.


==[[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/נקודות חיתוך|נקודות חיתוך עם הצירים]]==
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות חיתוך|נקודות חיתוך עם הצירים]]==
===מציאת נקודת חיתוך עם ציר X===
===מציאת נקודת חיתוך עם ציר X===
# בדיקה סוג הפרבולה ישרה או (a>0) הפוכה (a<0).
# בדיקה סוג הפרבולה ישרה או (a>0) הפוכה (a<0).
שורה 60: שורה 60:
* המצב : <math>\ \Delta=0</math>, כלומר לפונקציה <math>y=X^2+6X+9</math> יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-X. נקודה זו מצאנו בדרך של השוואה.
* המצב : <math>\ \Delta=0</math>, כלומר לפונקציה <math>y=X^2+6X+9</math> יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-X. נקודה זו מצאנו בדרך של השוואה.


==[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]]==
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]]==
[[קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר|left|thumb|60px|כיתוב תמונה]]
[[קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר|left|thumb|60px|כיתוב תמונה]]
# רשימת אי שיוויון על פי הדרישה :
# רשימת אי שיוויון על פי הדרישה :
#*'''תחום חיובי -''' רשימה [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ה/אלגברה/אי שוויונות ממעלה שנייה |אי שיוויון ריבועי]] כך : <math>ax^2+bx+c>0</math>.
#*'''תחום חיובי -''' רשימה [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה/אי שוויונות ממעלה שנייה |אי שיוויון ריבועי]] כך : <math>ax^2+bx+c>0</math>.
#* '''תחום שלילי -''' רשימה [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ה/אלגברה/אי שוויונות ממעלה שנייה |אי שיוויון ריבועי]] כך : <math>ax^2+bx+c>0</math>.
#* '''תחום שלילי -''' רשימה [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה/אי שוויונות ממעלה שנייה |אי שיוויון ריבועי]] כך : <math>ax^2+bx+c>0</math>.
# מציאת נקודות חיתוך עם ציר X.
# מציאת נקודות חיתוך עם ציר X.
# שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה")
# שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה")
# קביעת תחום - סימון ה[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי|תחום]] הנדרש :
# קביעת תחום - סימון ה[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי|תחום]] הנדרש :
#* '''מעל ציר X -''' [[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] חיובי.
#* '''מעל ציר X -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] חיובי.
#* '''מתחת ציר Y -''' [[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] שלילי.
#* '''מתחת ציר Y -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] שלילי.


===סימונים===
===סימונים===
נזכיר כיצד מסמנים [[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]].<br />
נזכיר כיצד מסמנים [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]].<br />
'''ההתבנית המשותפת :''' {X|התחום}.<br />
'''ההתבנית המשותפת :''' {X|התחום}.<br />
'''סוגי סוגרים :'''
'''סוגי סוגרים :'''
שורה 79: שורה 79:
# [)/(] - שילוב של שני הסוגרים ע"פ כולל או לא כולל.
# [)/(] - שילוב של שני הסוגרים ע"פ כולל או לא כולל.


==[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון|נקדת הקיצון]]/קודקוד הפרבולה/מוקד==
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]/קודקוד הפרבולה/מוקד==
===דרך א'===
===דרך א'===
====ערך הנקודה====
====ערך הנקודה====
שורה 91: שורה 91:


===דרך ב'===
===דרך ב'===
מציאת [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|נגזרת]] הפרבולה ע"פ [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|כללי הגזירה]]. השלבים :
מציאת [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|נגזרת]] הפרבולה ע"פ [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|כללי הגזירה]]. השלבים :
# גזירה.
# גזירה.
# מציאת סוג הנקודה ע"פ גזירה שנייה או טבלה (3 מספרים : הנקודה עצמה, נקודה לפני ונקודה אחרי).
# מציאת סוג הנקודה ע"פ גזירה שנייה או טבלה (3 מספרים : הנקודה עצמה, נקודה לפני ונקודה אחרי).
שורה 97: שורה 97:
# סימון מקסימום מינמום על הגרף.
# סימון מקסימום מינמום על הגרף.


==[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]==
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]==
לפונקציה ממעלה שנייה אין נקודות פיתול.
לפונקציה ממעלה שנייה אין נקודות פיתול.


==[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|תחומי עלייה וירידה]]==
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|תחומי עלייה וירידה]]==
שתי דרכים :
שתי דרכים :
# ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
# ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
שורה 107: שורה 107:
#* פרבולה הפוכה - יורדת כאשר <math>X>\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>X<\frac{-b}{2a}</math>.
#* פרבולה הפוכה - יורדת כאשר <math>X>\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>X<\frac{-b}{2a}</math>.


==[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/אסיפטוטות|אסיפטוטות]]==
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסיפטוטות|אסיפטוטות]]==
אין.
אין.


שורה 130: שורה 130:




[[קטגוריה : מתמטיקה לבגרות]]
[[קטגוריה : מתמטיקה לתיכון]]

גרסה מ־10:04, 11 במאי 2009

רענון

בשאלון 005 חקרנו משוואה ריבועית. נזכיר כי משוואה ריבועית היא משוואה ממעלה שנייה שצורתה הכללית היא : , המייצגת פרבולה. אולם, גילנו גם כי נוסחת יכולה להציג משוואה לינארית, ולכן, במהלך חקירתנו בדקנו שני תנאים :

  1. כאשר הנוסחא מציגה פרבולה - מקדם ה- שונה מאפס ().
  2. כאשר הנוסחא מייצגת פונקציה ישרה/פונקציה ממעלה ראשונה - כיוון שהפונקציה ממעלה ראשונה (אין מספרים בריבוע) : .

לאחר מכן, חקרנו כל אחת מהפונקציות בנפרד והסקנו מסקנות עבור המשוואה הריבועית.
בניגוד לפרק בו חקרנו משוואה ריבועית, בפרק זה נחקור רק פונקציה ריבועית, ולכן, התנאי הבסיסי שלנו הוא ש.

תיאור הפונקציה

כאמור, פונקציה ריבועית, היא פונקציה שמקורה ממשואה ריבועית. 3 מרכיבים בולטים בה :

  1. קודקוד הפרבולה/מוקד.
  2. ישר הסימטריה של הפרבולה/ישר מנחה - זהו ישרה היוצא מקודקוד הפרבולה.
  3. שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה.

תחום הגדרה

  1. - בכדי שפונקציה ריבועית תהיה פונקציה ריבועית, חייב להיות מספר בריבוע.

נקודות חיתוך עם הצירים

מציאת נקודת חיתוך עם ציר X

  1. בדיקה סוג הפרבולה ישרה או (a>0) הפוכה (a<0).
  2. הצבה y=0.
  3. מציאת ערכי X עבורם y=0 באמצעות טכניקות שונות כגון: טרינום, פירוק לגורמים ועוד.
  4. שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
  5. ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה : "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").

מציאת נקודת חיתוך עם ציר Y

  1. הצבה X=0.
  2. פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
    • חיתוך עם ציר Y - פתרון יחיד.
    • אין חיתוך עם ציר Y - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=2.

ההבדל בין חקירת משוואה ממעלה שנייה לפרבולה - שלושת המצבים

דוגמא לשלושת המצבים

בנושא חקירת משוואה ממעלה שנייה הועלה נושא "שלושת המצבים של המשוואה", כזכור שלושת המצבים הם :

  • כאשר יש שתי נקודות חיתוך.
  • כאשר יש נקודת חיתוך אחת (שימו לב, ישנם פעמים בהם שואלים : באילו ערכי X לפונקציה הבאה יש נקודת חיתוך אחת? – יש צורך גם לבדוק עבור פונקציה ממעלה ראשונה).
  • כאשר אין נקודות חיתוך.

בכדי לגלות מתי לפונקציה יש שתי, נקודה או אין בכלל נקודות חיתוך עם ציר ה-X פתרנו את המשוואה .

שימוש בדרך זו אינה יעילה כיוון שהיא רק מציינת בפנינו : האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה-X? כמה נקודות?

דוגמא

לפנינו הפרובלה : .

בכדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X נשוואה אותה לאפס. השלבים :

  • הפונקציה :
  • פונקצית ציר איקס :
  • נשוואה בין הפונקציות :
  • נעזר בנוסחאת הכפל המקוצר
  • נפתור :

בכדי לגלות איזה סוג של נקודות חיתוך יש לה עם ציר ה-X, נעזר בדלתא. השלבים :

  • הפונקציה :
  • נגלה את דלתא :
  • נפתח :
  • נצמצם :
  • המצב : , כלומר לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-X. נקודה זו מצאנו בדרך של השוואה.

תחום שלילי וחיובי

קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר
כיתוב תמונה
  1. רשימת אי שיוויון על פי הדרישה :
  2. מציאת נקודות חיתוך עם ציר X.
  3. שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה")
  4. קביעת תחום - סימון התחום הנדרש :

סימונים

נזכיר כיצד מסמנים תחום.
ההתבנית המשותפת : {X|התחום}.
סוגי סוגרים :

  1. () - לא כולל המספרים הרשומים (כלומר : >או<).
  2. [] - כולל המספרים הרשומים (כלומר : או )
  3. [)/(] - שילוב של שני הסוגרים ע"פ כולל או לא כולל.

נקודת הקיצון/קודקוד הפרבולה/מוקד

דרך א'

ערך הנקודה

שיעור X של קודקוד הפרבולה : .

שיעור Y של קודקוד הפרבולה :

סוג נקודת קיצון

  1. מינמום - a>0.
  2. מקסימום - a<0.

דרך ב'

מציאת נגזרת הפרבולה ע"פ כללי הגזירה. השלבים :

  1. גזירה.
  2. מציאת סוג הנקודה ע"פ גזירה שנייה או טבלה (3 מספרים : הנקודה עצמה, נקודה לפני ונקודה אחרי).
  3. סימון על גרף מיקום.
  4. סימון מקסימום מינמום על הגרף.

נקודות פיתול

לפונקציה ממעלה שנייה אין נקודות פיתול.

תחומי עלייה וירידה

שתי דרכים :

  1. ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
  2. פתרית משוואה :
    • פרבולה ישרה - יורדת כאשר ועולה כאשר .
    • פרבולה הפוכה - יורדת כאשר ועולה כאשר .

אסיפטוטות

אין.

תיאור גרפי

ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, הפרבולה צרה יותר

ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר.

פרבולה + c

# כאשר K חיובי הפרבולה עולה – מעלה את ערך Y. # כאשר K שלילי הפרבולה יורדת – מוריד את ערך Y.

פרבולה בעלות נעלם ממעלה ראשונה

פרבולות בעלות נעלם ממעלה ראשונה. ישנם שני סוגים אפשריים:

  1. פרבולות שמבוטאות באמצעות כפל מקוצר, כלומר,
  2. פרבולות מהצורה :