מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף
←סימוני הפונקציה: הרחבה |
|
(אין הבדלים)
|
גרסה מ־07:52, 30 באפריל 2009
מהי פונקציה?
פונקציה המבטא את היחס שיש בין לבין . למשל: הינה פונקציה שהקשר בין X ל-Y הוא, ש-y גדול מ-x ב-2.
אולם, אין אומר שכל יחס בין X ל-Y יהיה פונקציה. על מנת שיחס זה יהיה פונקציה יש לקיים את הגדרת הפונקציה.
הגדרת הפונקציה : עבור כל ערך של X ישנו משתנה אחד בלבד של Y. כלומר, לא יהיו שתי הגדרות של Y שונות בערכן עבור אותו X.
הצגה גרפית של פונקציה - כל פונקציה ניתן לתאר על מערכת צירים.
מתי אין פונקציה?
על פי הגדרת הפונקציה , פונקציה אשר ל-X שלה (תחום) יש שתי הגדרות שונות (שתי נקודות Y), היא אינה פונקציה.
בגרף, הדבר בא לידי ביטוי יש ישר העובר דרך נקודה X ומקביל לציר Y (עבור אותו X, יש הרבה Y).
נקודה על הפונקציה
כל נקודה הנמצאת על פונקציה חייבת לקיים את המשוואה שלה. כלומר, אם נתונה פונקציה אנו ונקודות אנו יכולים לבצע 2 פעולות :
- האם הנקודה נמצאת על הפונקציה - הצבה במשוואה ובדיקה האם מתקבלת התוצאה : 0=0.
- מציאת ערכי הנקודה - אם נתון לנו רק X של הנקודה ואנו יודעים בוודאות שהיא על פונקציה, נוכל להציב את X במשוואה ולגלות את y.
דוגמא
למשל, אם נתונה הפונקציה והנקודות:
- (2,4)A
- (2,10)B
- (X,2)C - נמצאת על הפונקציה.
אז :
- הצבת ערכי בפונקציה נותן : A כיוון שהמשוואה היא פסוק אמת, A נמצאת על הפונקציה.
- הצבת ערכי B בפונקציה נותן : כיוון שהמשוואה היאפסוק שקר, B אינה נמצאת על הפונקציה - B אינה מקיימת את משוואת הפונקציה.
- Yc = 2. C נמצאת על הפונקציה, לכן הצבה בפונקציה תגלה לנו את ערכי X. . לאחר סידור אגפים, אנו מגלים כי Xc=0.
סוגים של פונקציות
קיים מגוון רחב של סוגים של פונקציות. במהלך הספר תכירו (נחקור) חלק מהפונקציות הקיימות ותלמדו את תכונותהן. רשימת הפונקציות שנלמדות בכרך :
- פונקציה לינארית/ישרה/קווית - הפונקציה הפשוטה ביותר.
- פונקציה ריבועית - פונקציה ממעלה שנייה.
- פונקציה הערך המוחלט
- פונקציה זוגית ואי זוגית
- פונקצית הפולינום
- פונקציה רציונלית
- פונקצית השורש הריבועי
- פונקציה סתומה
- פונקציה טריגונומטרית
- פונקציה עם פרמטרים - פונקציה עם נעלים.
סימוני הפונקציה
פונקציה פשוטה
פונקציה פשוטה, מסומנת כך: , למשל: .
קיימות שתי תבניות אפשריות :
- פונקציה מפורשת - פונקציה בה הנעלם y מבודד. כמו למשל : , וכדומה.
- פונקציה סתומה - פונקציב שבה הנעלם y אינו מבודד. כמו למשל : , וכדומה.
פונקציה מורכבת
בדרך כלל, בפונקציות מורכבות יותר, נהוג לרשום במקום y, את האות באנגלית המייצגת פונקציה (function) ; f, בתוספת סוגרים שבתוכן X. כלומר, .
.
לפעמים קורים מקרים בהן אנו חוקרים יותר מפונקציה אחת, ולכן, אנו נעזר באותיות הבאות ל-g (f,g,h...t), שירשמו באופן זהה : אות, סוגרים ובתוכן X. ניתן להחליף את f בכל אות או מילה שרוצים, מאחר ומדובר בסימון בלבד.
דרך נוספת מקובלת, היא להוסיף מספר לפונקציה, הרשום בקטן ליד שמה: וכולי. למספר הרשום בקטן קוראים "האינדקס של f".
ערכי X ו-Y
כאמור, בכדי לגלות את ערך Y, נציב את X ונגלה את ערך Y ע"פ היחס הנתון.
בפונקציה פשוטה, בכדי לגלות את ערכי y, אנו חייבים לרשום "נציב ב- את הערך 1", אחרת הפעולה/דרך הפתרון לא תהיה ברורה למתבונן.
לעומת זאת, בעזרת צורת הסימון השנייה ניתן לסמן זאת באופן הבא: .
פרמטרים (=נעלמים)
דוגמא לפונקציה עם פרמטרים : .
מה יכול להופיע בנעלם?
- מקדמים - כידוע לכל נעלם קיים מקדם. למשל, המקדם של 2x הוא 2, המקדם של y הוא 1, וכן הלאה. לפעמים, יהיו תרגלים בהן יופיעו המקדמים כפרמטרים. בדוגמא : a.
- מקדם חופשי -כל המספרים הנלווים למשוואת הפונקציה שאינם נכפלים בנעלמים. במקרה שלנו : t.
במהלך הספר נחקור פונקציות, שהנן משוואות עם פרמטרים, ונגלה את הפרמטרים בדרכים שונות.