חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קבוצות חסומות

הנושא הקודם בתורת הקבוצות: בר מניה ולא בר מניה

הגדרות ודוגמאות

הגדרה: תהא $\ A\subset \mathbb {R}$. נגיד שהקבוצה $\ A$ חסומה מלעיל (Bounded above) אם קיים מספר $\ M$ כך שלכל $\ x\in A$, מתקיים: $\ x\leq M$.

קל לראות, על פי ההגדרה, ש- $\ M$ אינו יחיד (כי: יהא $\ M$ מספר המקיים את התנאי. אז כל מספר הגדול מ-$\ M$ יקיים את התנאי אף הוא). כל $\ M$ המקיים את התנאי הנ"ל נקרא חסם מלעיל (upper bound).
הגדרה: תהא $\ A\subset \mathbb {R}$. נגיד שהקבוצה $\ A$ חסומה מלרע אם קיים מספר $\ m$ כך שלכל $\ x\in A$, מתקיים: $\ x\geq m$. ושוב קל לראות, על פי ההגדרה, ש- $\ m$ אינו יחיד.
כל $\ m$ המקיים את התנאי הנ"ל נקרא חסם מלרע.
דוגמאות:
1. $\ \mathbb {N} =\left\{1,2,3,\cdots \right\}$ חסומה מלרע - כל $\ m\leq 1$ הוא חסם מלרע. לעומת זאת, הקבוצה $\ \mathbb {N}$ אינה חסומה מלעיל.
2. $\ A=\left(0,1\right]$:

• קיים חסם מלעיל בתוך $\ A$ (שהוא, כמובן, המספר $\ 1$). פרט לכך, קיימים, כמובן, אינסוף חסמי מלעיל נוספים!
• קיים חסם מלרע $\ 0$, אך הוא אינו בתוך $\ A$ (קיימים, כמובן, נוספים, שגם אף אחד מהם אינו נמצא בתוך הקבוצה $\ A$).

3. $\ A=\left\{{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \right\}$ חסומה מלעיל (למשל: ע"י $\ 1$) ומלרע (למשל: ע"י $\ 0$).

הגדרה: קבוצה תקרא חסומה אם היא חסומה גם מלעיל וגם מלרע.

הגדרה: נתונה $\ A$, קבוצה החסומה מלעיל ב- $\ \mathbb {R}$. המספר $\ M$ יקרא החסם העליון הקטן ביותר (לפעמים פשוט "החסם העליון") או סופרמום של $\ A$, אם מתקיים:
1) $\ M$ חסם מלעיל של $\ A$.
2) אין חסם מלעיל אחר של $\ A$ שקטן ממש מ-$\ M$. (במילים אחרות, אם $\ M_{1}$ חסם מלעיל של $\ A$ אף הוא, אז מתקיים: $\ M_{1}\geq M$).
ניסוח אחר: $\ \forall M_{2}<M,\ \exists x\in A|x>M_{2}$.
סימון: $\ M=\sup \left\{A\right\}$.
דוגמה: $\ A=\left(0,1\right],\ B=\left[0,1\right)$. בשני המקרים, $\ M=1$ הוא החסם העליון.

נגדיר כעת חסם תחתון גדול ביותר או אינפימום (infimum):
המספר $\ m$ יקרא החסם התחתון הגדול ביותר (לפעמים פשוט "החסם התחתון") או אינפימום של $\ A$, אם מתקיים:
1) $\ m$ חסם מלרע של $\ A$.
2) אין חסם מלרע של $\ A$ הגדול מ-$\ m$.
סימון: $\ m=\inf \left\{A\right\}$.

• הערה: ניתן להגדיר אינפימום ע"י סופרמום, באופן הבא: $\ \inf \left\{A\right\}=-\sup \left\{-A\right\}$, כאשר מגדירים: $\ -A=\left\{-x|x\in A\right\}$.

הגדרה:

1. נתונה קבוצה $\ A$ החסומה מלעיל ע"י $\ M$, כלומר $\ M=\sup \left\{A\right\}$. אם $\ M\in A$, אז נגיד ש-$\ M$ הוא המקסימום של $\ A$, ונכתוב: $\ M=\max \left\{A\right\}$.
   
2. נתונה קבוצה $\ B$ החסומה מלרע ע"י $\ m$, כלומר $\ m=\inf \left\{B\right\}$. אם $\ m\in B$, נגיד ש-$\ m$ הוא המינימום של $\ B$, ונכתוב: $\ m=\min \left\{B\right\}$.

• הערה: אם יש ל-$\ A$ מספר סופי של איברים, אז יש לה הן מקסימום והן מינימום.

דוגמא חשובה

$\ ?$ שאלה: האם לכל קבוצה $\ A$ החסומה מלעיל יש סופרמום?
תשובה: תלוי (ותיכף נראה במה)

• אם אנחנו נמצאים בתוך $\ \mathbb {Q}$, התשובה היא לא.
  
• אם אנחנו נמצאים בתוך $\ \mathbb {R}$, התשובה היא כן, תמיד!
  

דוגמה חשובה מאוד: נתבונן בקבוצה הבאה: $\ A=\left\{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\right\}$
כעת, נשאל לגבי הקבוצה הזו: האם קיים לה סופרמום בתוך $\ \mathbb {Q}$?
טענה: לקבוצה $\ A$ הנ"ל אין סופרמום בתוך $\ \mathbb {Q}$
. הוכחה: נניח בשלילה שקיים כזה, ונסמנו באות $\ M$. כלומר: $\ M=\sup \left\{A\right\}$.
בהכרח $\ M\neq {\sqrt {2}}$ (משום ש- $\ M\in \mathbb {Q}$, וראינו מקודם ש- $\ {\sqrt {2}}\not \in \mathbb {Q}$). לכן, קיימות שתי אפשרויות:
א) $\ M>{\sqrt {2}}$: לפי המשפט שהוכחנו, בין כל שני מספרים קיים מספר רציונלי. לכן, בין $\ M$ ובין $\ {\sqrt {2}}$ יש מספר רציונלי כלשהו, נסמנו $\ M_{1}$.

כעת: לכל $\ x\in A$, מתקיים ש- $\ M_{1}>x$ $\ M_{1}\Leftarrow$ חסם מלעיל $\ M\Leftarrow$ אינו סופרמום! (כי יש חסם מלעיל הקטן ממנו) $\ \Leftarrow$ סתירה להנחה ש- $\ M>{\sqrt {2}}$ $\ M\leq {\sqrt {2}}\Leftarrow$. אבל, כבר אמרנו שבהכרח $\ M\neq {\sqrt {2}}$ $\ M<{\sqrt {2}}\Leftarrow$.
ב) $\ M<{\sqrt {2}}$: לפי אותו משפט כנ"ל, יש בין $\ M$ לבין $\ {\sqrt {2}}$ מספר רציונלי $\ M_{2}$, ומתקיים: $\ M<M_{2}<{\sqrt {2}}$. לכן, $\ M_{2}\in A$ (כי: $\ M<{\sqrt {2}}$ $\ \left(M_{2}\right)^{2}<2\ \ \Leftarrow$) $\ M\ \Leftarrow$ אינו חסם עליון כלל! (כי יש איבר בקבוצה שגדול ממנו).
מסקנה: אין לקבוצה $\ A$ הנ"ל סופרמום בתוך $\ \mathbb {Q}$, והטענה הוכחה.▪

נושא 3

וזהו, סיימנו את פרק המבוא!!! אתם מוזמנים להיכנס לתרגילים בנושא, על מנת לתרגל את החומר.