מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
 
הרחבה
שורה 1: שורה 1:
==מהי פונקציה?==
==מהי פונקציה?==
פונקציה הינה היחס שיש בין <math>\ x </math> לבין <math>\ y </math>. למשל: <math>\ y = x+2 </math> הינה פונקציה שהקשר בין X ל-Y הוא, ש-y גדול מ-x ב-2. <br />
פונקציה הינה היחס שיש בין <math>\ x </math> לבין <math>\ y </math>. למשל: <math>\ y = x+2 </math> הינה פונקציה שהקשר בין X ל-Y הוא, ש-y גדול מ-x ב-2. <br />
[[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/הצגה גרפית של פונקציה|הצגה גרפית של פונקציה]] - כל פונקציה ניתן לתאר על מערכת צירים.

==נקודה על הפונקציה==
כל נקודה הנמצאת על פונקציה חייבת לקיים את המשוואה שלה. כלומר, אם נתונה פונקציה אנו ונקודות אנו יכולים לבצע 2 פעולות :
# '''האם הנקודה נמצאת על הפונקציה -''' הצבה במשוואה ובדיקה האם מתקבלת התוצאה : 0=0.
# '''מציאת ערכי הנקודה -''' אם נתון לנו רק X של הנקודה ואנו יודעים בוודאות שהיא על פונקציה, נוכל להציב את X במשוואה ולגלות את y.

===דוגמא===
למשל, אם נתונה הפונקציה <math>y=x+2</math> והנקודות:
* (2,4)A
* (2,10)B
* (X,2)C - נמצאת על הפונקציה.

אז :
* הצבת ערכי בפונקציה נותן : A <math>4=2+2</math> כיוון שהמשוואה היא פסוק אמת, A נמצאת על הפונקציה.
* הצבת ערכי B בפונקציה נותן : <math>10=2+2</math> כיוון שהמשוואה היאפסוק שקר, B אינה נמצאת על הפונקציה - B אינה מקיימת את משוואת הפונקציה.
* Yc = 2. C נמצאת על הפונקציה, לכן הצבה בפונקציה תגלה לנו את ערכי X. <math>2=X+2</math>. לאחר [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ה/אלגברה/משוואות ממעלה ראשונה עם פרמטרים|סידור אגפים]], אנו מגלים כי Xc=0.


==סוגים של פונקציות==
==סוגים של פונקציות==
שורה 24: שורה 41:


===ערכי X ו-Y===
===ערכי X ו-Y===
כידוע, בכדי לגלות את ערך Y, נציב את X ונגלה את ערך Y ע"פ היחס הנתון (תרגילי מ[[מתמטיקה לבגרות/שאלון ה/אלגברה/משוואות ממעלה ראשונה עם פרמטרים|משוואה ממעלה ראשונה]]).
כאמור, בכדי לגלות את ערך Y, נציב את X ונגלה את ערך Y ע"פ היחס הנתון.


בפונקציה פשוטה, בכדי לגלות את ערכי y, אנו חייבים לרשום "נציב ב- <math>\ x </math> את הערך 1", אחרת הפעולה/דרך הפתרון לא תהיה ברורה למתבונן.
בפונקציה פשוטה, בכדי לגלות את ערכי y, אנו חייבים לרשום "נציב ב- <math>\ x </math> את הערך 1", אחרת הפעולה/דרך הפתרון לא תהיה ברורה למתבונן.

גרסה מ־14:50, 16 בינואר 2009

מהי פונקציה?

פונקציה הינה היחס שיש בין לבין . למשל: הינה פונקציה שהקשר בין X ל-Y הוא, ש-y גדול מ-x ב-2.
הצגה גרפית של פונקציה - כל פונקציה ניתן לתאר על מערכת צירים.

נקודה על הפונקציה

כל נקודה הנמצאת על פונקציה חייבת לקיים את המשוואה שלה. כלומר, אם נתונה פונקציה אנו ונקודות אנו יכולים לבצע 2 פעולות :

  1. האם הנקודה נמצאת על הפונקציה - הצבה במשוואה ובדיקה האם מתקבלת התוצאה : 0=0.
  2. מציאת ערכי הנקודה - אם נתון לנו רק X של הנקודה ואנו יודעים בוודאות שהיא על פונקציה, נוכל להציב את X במשוואה ולגלות את y.

דוגמא

למשל, אם נתונה הפונקציה והנקודות:

  • (2,4)A
  • (2,10)B
  • (X,2)C - נמצאת על הפונקציה.

אז :

  • הצבת ערכי בפונקציה נותן : A כיוון שהמשוואה היא פסוק אמת, A נמצאת על הפונקציה.
  • הצבת ערכי B בפונקציה נותן : כיוון שהמשוואה היאפסוק שקר, B אינה נמצאת על הפונקציה - B אינה מקיימת את משוואת הפונקציה.
  • Yc = 2. C נמצאת על הפונקציה, לכן הצבה בפונקציה תגלה לנו את ערכי X. . לאחר סידור אגפים, אנו מגלים כי Xc=0.

סוגים של פונקציות

קיים מגוון רחב של סוגים של פונקציות. במהלך הספר תכירו (נחקור) חלק מהפונקציות הקיימות ותלמדו את תכונותהן. רשימת הפונקציות שנלמדות בכרך :

  1. פונקציה לינארית/ישרה/קווית - הפונקציה הפשוטה ביותר.
  2. פונקציה ריבועית - פונקציה ממעלה שנייה.
  3. פונקציה הערך המוחלט
  4. פונקציה זוגית ואי זוגית
  5. פונקצית הפולינום
  6. פונקציה רציונלית
  7. פונקצית השורש הריבועי
  8. פונקציה סתומה
  9. פונקציה טריגונומטרית
  10. פונקציה עם פרמטרים - פונקציה עם נעלים.

סימוני הפונקציה

פונקציה פשוטה (עד ללימוד החדו"א - חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי), מסומנת כך: , למשל: .

בדרך כלל, בפונקציות מורכבות יותר, נהוג לרשום במקום y, את האות באנגלית המייצגת פונקציה (function) ; f, בתוספת סוגרים שבתוכן X. כלומר, .
.
לפעמים קורים מקרים בהן אנו חוקרים יותר מפונקציה אחת, ולכן, אנו נעזר באותיות הבאות ל-g (f,g,h...t), שירשמו באופן זהה : אות, סוגרים ובתוכן X. ניתן להחליף את f בכל אות או מילה שרוצים, מאחר ומדובר בסימון בלבד. דרך נוספת מקובלת, היא להוסיף מספר לפונקציה, הרשום בקטן ליד שמה: וכולי. למספר הרשום בקטן קוראים "האינדקס של f".

ערכי X ו-Y

כאמור, בכדי לגלות את ערך Y, נציב את X ונגלה את ערך Y ע"פ היחס הנתון.

בפונקציה פשוטה, בכדי לגלות את ערכי y, אנו חייבים לרשום "נציב ב- את הערך 1", אחרת הפעולה/דרך הפתרון לא תהיה ברורה למתבונן.

לעומת זאת, בעזרת צורת הסימון השנייה ניתן לסמן זאת באופן הבא: .

פרמטרים (=נעלמים)

דוגמא לפונקציה עם פרמטרים : .

מה יכול להופיע בנעלם?

  • מקדמים - כידוע לכל נעלם קיים מקדם. למשל, המקדם של 2x הוא 2, המקדם של y הוא 1, וכן הלאה. לפעמים, יהיו תרגלים בהן יופיעו המקדמים כפרמטרים. בדוגמא : a.
  • מקדם חופשי -כל המספרים הנלווים למשוואת הפונקציה שאינם נכפלים בנעלמים. במקרה שלנו : t.

במהלך הספר נחקור פונקציות, שהנן משוואות עם פרמטרים, ונגלה את הפרמטרים בדרכים שונות.