חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים

חשבון אינפיניטסימלי

לאחר שהכרנו את מושג הגבול ואת הגדרת הגבול נעבור למספר משפטים שיציגו תכונות שונות של גבולות ושל סדרות מתכנסות -

משפט: אם קיים $\ l\in R$ כך שלכל $\ n$ טבעי מתקיים $\ a_{n}=l$ אזי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=l$ הוכחה: לכל $\ \varepsilon >0$ קיים $\ N=0$ שעבורו מתקיים - $\left|a_{n}-L\right|=\left|l-l\right|=0<\varepsilon$ ולכן $\lim _{n\to \infty }a_{n}=l$

למעשה כבר ראינו דוגמא למשפט הזה בעמוד הקודם, עבור הסדרה שבה $\ a_{n}=0$, המשפט תקף גם לכל מספר אחר, למשל -

$a_{n}=\left\{42,42,42,42\dots \right\}$

מתקיים - $\lim _{n\to \infty }a_{n}=42$

משפט: אם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ אזי $\ \lim _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|=\left|L\right|$ הוכחה: על פי אי שוויון המשולש השני - $\left|\left|a_{n}\right|-\left|L\right|\right|\leq \left|a_{n}-L\right|$ נתון כי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ לכן לכל $\ \varepsilon >0$ קיים $\ N$ כך שלכל $\ n>N$ מתקיים - $\ \left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$. אזי לכל $\ \varepsilon >0$ נבחר את אותו ה-$\ N$, ואז - $\left|\left|a_{n}\right|-\left|L\right|\right|\leq \left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$ ולכן $\ \lim _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|=\left|L\right|$

אם נסתכל למשל על הסדרה - $\ a_{n}={\frac {-n}{n+1}}$ -

$\ a_{n}=\left\{{\frac {-1}{2}},{\frac {-2}{3}},{\frac {-3}{4}}\dots \right\}$

נראה כי הגבול שלה הוא $-1$. לכל $\ \varepsilon >0$ נבחר $\ N={\frac {1}{\varepsilon }}$ ואז יתקיים -

$\ \left|a_{n}-L\right|=\left|{\frac {-n}{n+1}}+1\right|=\left|{\frac {-n+n+1}{n+1}}\right|=\left|{\frac {1}{n+1}}\right|={\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n}}<\varepsilon$

לכן $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-1$. כעת אם נרצה לדעת מה הגבול של הסדרה $\ bn=\left|a_{n}\right|$ כלומר $\ b_{n}={\frac {n}{n+1}}$ כל מה שצריך הוא להשתמש במשפט כדי לדעת כי $\lim _{n\to \infty }b_{n}=1$.

משפט: סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד הוכחה:

משפט: יהיו $\ a_{n},b_{n}$ שתי סדרות. אם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ וקיימים שני מספרים שלמים $\ n_{0},p$ כך שלכל $\ n>n_{0}$ מתקיים $\ b_{n}=a_{n+p}$ אזי גם $\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ הוכחה:

-

משפטים בסיסיים

-