חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
{{חשבון אינפיניטסימלי}} |
{{חשבון אינפיניטסימלי}} |
||
לאחר שהכרנו את מושג הגבול ואת הגדרת הגבול נעבור למספר משפטים שיציגו תכונות שונות של גבולות ושל סדרות מתכנסות - |
לאחר שהכרנו את מושג הגבול ואת הגדרת הגבול נעבור למספר משפטים שיציגו תכונות שונות של גבולות ושל סדרות מתכנסות - |
||
{{משפט|תוכן=אם קיים <math>\ l \in R</math> כך שלכל <math>\ n</math> טבעי מתקיים <math>\ a_n = l</math> אזי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = l</math> |
{{משפט|תוכן=אם קיים <math>\ l \in R</math> כך שלכל <math>\ n</math> טבעי מתקיים <math>\ a_n = l</math> אזי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = l</math> |
||
{{הוכחה|לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N = 0</math> שעבורו מתקיים - |
{{הוכחה|לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N = 0</math> שעבורו מתקיים - |
||
<center><math>\left| a_n - L \right| = \left| l - l \right| = 0 < \varepsilon</math></center> |
<center><math>\left| a_n - L \right| = \left| l - l \right| = 0 < \varepsilon</math></center> |
||
ולכן <math>\lim_{n \to \infty}a_n = l</math>}} |
ולכן <math>\lim_{n \to \infty}a_n = l</math>}}}} |
||
למעשה כבר ראינו דוגמא למשפט הזה בעמוד הקודם, עבור הסדרה שבה <math>\ a_n = 0</math>, המשפט תקף גם לכל מספר אחר, למשל - |
למעשה כבר ראינו דוגמא למשפט הזה בעמוד הקודם, עבור הסדרה שבה <math>\ a_n = 0</math>, המשפט תקף גם לכל מספר אחר, למשל - |
||
שורה 10: | שורה 10: | ||
מתקיים - <math>\lim_{n \to \infty}a_n = 42</math> |
מתקיים - <math>\lim_{n \to \infty}a_n = 42</math> |
||
{{משפט|תוכן=אם <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> אזי <math>\ \lim_{n \to \infty} \left| a_n \right| = \left| L \right| </math> |
{{משפט|תוכן=אם <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> אזי <math>\ \lim_{n \to \infty} \left| a_n \right| = \left| L \right| </math> |
||
{{הוכחה| |
{{הוכחה| |
||
על פי אי שוויון המשולש השני - |
על פי אי שוויון המשולש השני - |
||
שורה 16: | שורה 16: | ||
נתון כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> לכן לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N</math> כך שלכל <math>\ n > N</math> מתקיים - <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math>. אזי לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> נבחר את אותו ה-<math>\ N</math>, ואז - |
נתון כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> לכן לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N</math> כך שלכל <math>\ n > N</math> מתקיים - <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math>. אזי לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> נבחר את אותו ה-<math>\ N</math>, ואז - |
||
<center><math>\left| \left| a_n \right| - \left| L \right| \right| \le \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math></center> |
<center><math>\left| \left| a_n \right| - \left| L \right| \right| \le \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math></center> |
||
ולכן <math>\ \lim_{n \to \infty} \left| a_n \right| = \left| L \right| </math>}} |
ולכן <math>\ \lim_{n \to \infty} \left| a_n \right| = \left| L \right| </math>}}}} |
||
אם נסתכל למשל על הסדרה - <math>\ a_n = \frac{-n}{n+1}</math> - |
אם נסתכל למשל על הסדרה - <math>\ a_n = \frac{-n}{n+1}</math> - |
גרסה מ־21:44, 24 בינואר 2008
לאחר שהכרנו את מושג הגבול ואת הגדרת הגבול נעבור למספר משפטים שיציגו תכונות שונות של גבולות ושל סדרות מתכנסות -
משפט: אם קיים כך שלכל טבעי מתקיים אזי הוכחה: לכל קיים שעבורו מתקיים - ולכן
|
למעשה כבר ראינו דוגמא למשפט הזה בעמוד הקודם, עבור הסדרה שבה , המשפט תקף גם לכל מספר אחר, למשל -
מתקיים -
משפט: אם אזי הוכחה: על פי אי שוויון המשולש השני - נתון כי לכן לכל קיים כך שלכל מתקיים - . אזי לכל נבחר את אותו ה-, ואז - ולכן
|
אם נסתכל למשל על הסדרה - -
נראה כי הגבול שלה הוא . לכל נבחר ואז יתקיים -
משפט: סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד |
משפט: יהיו שתי סדרות. אם וקיימים שני מספרים שלמים כך שלכל מתקיים אזי גם |
- | משפטים בסיסיים | - |