חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Costello (שיחה | תרומות)
מאין תקציר עריכה
Costello (שיחה | תרומות)
מאין תקציר עריכה
שורה 4: שורה 4:
{{הוכחה|לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N = 0</math> שעבורו מתקיים -
{{הוכחה|לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N = 0</math> שעבורו מתקיים -


<center><math>\ \left| a_n - L \right| = \left| l - l \right| = 0 < \varepsilon</math></center>
<center><math>\left| a_n - L \right| = \left| l - l \right| = 0 < \varepsilon</math></center>
ולכן <math>\lim_{n \to \infty}a_n = l</math>}}
ולכן <math>\lim_{n \to \infty}a_n = l</math>}}


שורה 10: שורה 10:
{{הוכחה|
{{הוכחה|
על פי אי שוויון המשולש השני -
על פי אי שוויון המשולש השני -
<center><math>\left| \left| a_n \right| - \left| L \right| \right| <= \left| a_n - L \right| </math></center>
<center><math>\left| \left| a_n \right| - \left| L \right| \right| \le \left| a_n - L \right| </math></center>
נתון כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> לכן לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N</math> כך שלכל <math>\ n > N</math> מתקיים - <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math>. אזי לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> נבחר את אותו ה-<math>\ N</math>, ואז -
נתון כי <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> לכן לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N</math> כך שלכל <math>\ n > N</math> מתקיים - <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math>. אזי לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> נבחר את אותו ה-<math>\ N</math>, ואז -
<center><math>\left| \left| a_n \right| - \left| L \right| \right| <= \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math></center>
<center><math>\left| \left| a_n \right| - \left| L \right| \right| \le \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math></center>
ולכן <math>\ \lim_{n \to \infty} \left| a_n \right| = \left| L \right| </math>}}
ולכן <math>\ \lim_{n \to \infty} \left| a_n \right| = \left| L \right| </math>}}



גרסה מ־19:06, 24 בינואר 2008

חשבון אינפיניטסימלי










לאחר שהכרנו את מושג הגבול ואת הגדרת הגבול נעבור למספר משפטים שיציגו תכונות שונות של גבולות ושל סדרות מתכנסות -


משפט:

אם קיים כך שלכל טבעי מתקיים אזי


הוכחה: לכל קיים שעבורו מתקיים -

ולכן



משפט:

אם אזי


הוכחה: על פי אי שוויון המשולש השני -

נתון כי לכן לכל קיים כך שלכל מתקיים - . אזי לכל נבחר את אותו ה-, ואז -

ולכן



משפט:

סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד



משפט:

יהיו שתי סדרות. אם וקיימים שני מספרים שלמים כך שלכל מתקיים אזי גם


- משפטים בסיסיים -