מתמטיקה תיכונית/הסתברות/פעולות במאורעות: הבדלים בין גרסאות בדף
מאין תקציר עריכה |
|||
שורה 106: | שורה 106: | ||
==חיסור מאורעות== |
==חיסור מאורעות== |
||
[[תמונה:Probability venn a minus b.svg|thumb|left|A-B הוא כל מה שב-A ו'''לא''' ב-B.B]] |
|||
חיסור של מאורע A ממאורע B הוא כל התוצאות שב-A ו'''לא''' ב-B. |
|||
חיסור של המאורעות A מהמאורע B מסומן כך: <math>A - B</math>. |
|||
קל לשים לב שבחיסור מאורעות, יש חשיבות לסדר: <math>A - B \neq B - A</math> |
|||
למשל: |
|||
:בזריקת קוביה מוגדרים המאורעות: |
|||
<div style="direction: ltr;"><math>A=\{1,2,3,4\},B=\{2,3,5\}</math></div> |
|||
המאורע A-B הוא כל מה שב-A ו'''לא''' ב-B. |
|||
<div style="direction: ltr;"><math>A - B=\{1,4\}</math></div> |
גרסה מ־03:52, 14 בנובמבר 2006
דיאגרמת ון
דיאגרמת ון היא דרך להציג מאורעות וקשרים ביניהם בצורה ויזואלית. הדיאגרמה היא מלבן, שבפינתו רשומה - לציין שהמלבן מייצג את מרחב המדגם, את כל התוצאות האפשריות.
בתוך המלבן ניתן לצייר מאורעות. מאורע מציירים כעיגול בתוך המלבן, ובתוכו רשומה האות שמייצגת את המאורע. מיד נלמד על קשרים בין מאורעות ועל פעולות שניתן לבצע על מאורעות, וכל אלו נייצג באמצעות דיאגרמת ון.
המאורע המשלים
המאורע המשלים מכיל את כל התוצאות במרחב המדגם שאינן חלק מהמאורע.
דוגמה: למשל, בזריקת קוביה, מרחב המדגם הוא . נגדיר מאורע: . המאורע המשלים ל-A יסומן כ- (A עם קו מעליו). מאורע זה מכיל את כל התוצאות ממרחב המדגם שאינן ב-A.
דוגמה:
- ניקח מחפיסת קלפים, את 13 הקלפים מסדרת לב ונטרוף את 13 הקלפים היטב. מבצעים ניסוי מקרי - בוחרים קלף אחד מתוך 13 קלפי הלב.
- א. מצא את מרחב המדגם!
- ב. נתון שמאורע A הוא בחירה של נסיך, מלכה או מלך לב. מצא את המאורע המשלים ל-A!
- פתרון:
- א. מכיוון שאנו בוחרים קלף אחד מתוך 13 קלפי הלב, מרחב המדגם הוא כל הקלפים מסוג לב:
- ב. המאורע A הוא בחירת נסיך מלכה או מלך לב:
- המאורע המשלים ל-A הוא כל הקלפים ממרחב המדגם שאינם נסיך מלכה או מלך לב:
מאורע חלקי
כאשר אנו אומרים שמאורע B חלקי למאורע A, אנו מתכוונים שכל התוצאות במאורע B, נמצאות גם במאורע A.
למשל: אם בזריקת קוביה מוגדר מאורע ומאורע - נאמר שהמאורע B חלקי למאורע A. (התוצאות 2 ו- 4 של המאורע B, נמצאות גם במאורע A).
נסמן זאת כך: (B חלקי ל-A).
אם ב-B יש איברים (תוצאות) שאינם חלק מ-A אזי B אינו חלקי ל-A.
נסמן זאת כך: (B אינו חלקי ל-A).
דוגמה:
- נתונה רולטה, ובה 51 מספרים, מ-0 עד 50. ניסוי מקרי הוא סיבוב הרולטה. כאשר הרולטה נעצרת מספר נבחר. לכל המספרים סיכוי שווה להיבחר. נתון מאורע מצא אלו מהמאורעות הבאים חלקי ל-A.
- תשובות
- מכיוון שכל אברי B נמצאים גם ב-A.
- מכיוון ש4 ו- 6 למשל, הם חלק מ-C אבל לא מ-A
- מכיוון 0 ו- 1 נמצאים ב-D ולא ב-A. מאידך גיסא, מכיוון שכל אברי A נמצאים ב-D.
- מכיוון ש-1 נמצא ב-E ולא ב-A.
- מכיוון שכל אברי F נמצאים גם ב-A.
מאורעות שווים
מאורעות הם שווים כאשר כל התוצאות זהות בשני המאורעות.
מאורעות שווים מסומנים על ידי סימן השוויון: .
למשל:
- בבחירת קלף מחפיסת קלפים, אם מאורע A הוא מלכה לב ומלכה מעוין, ומאורע B הוא כל המלכות האדומות, אזי המאורעות A ו- B שווים.
חיתוך של מאורעות
חיתוך של מאורעות (A ו- B) הוא מאורע שמכיל רק את התוצאות שגם ב-A וגם ב-B.
חיתוך של המאורעות A ו- B מסומן כך: .
דוגמה:
- בשליפת קלף מחפיסת קלפים, המאורע A הוא כל הלבבות:
.
- המאורע B הוא כל משפחת המלוכה:
.
- חיתוך המאורעות A ו- B הוא כל התוצאות המשותפות - בני המלוכה מסדרת לב:
מאורעות זרים
מאורעות זרים אם אין להם אף תוצאה משותפת.
חיתוך של מאורעות זרים הוא המאורע הריק.
אם A ו- B זרים אזי: .
זה מסתדר היטב עם הגדרת החיתוך שלמדנו - החיתוך הוא החלק המשותף לA ול-B. אם הם זרים, אין להם חלק משותף.
דוגמא:
בזריקת קוביה, המאורע A הוא המספרים הזוגיים, והמאורע B הוא המספרים האי-זוגיים.
כשרושמים את התוצאות, קל לראות שאין אף תוצאה משותפת ל-A ול-B (גם אם לא רושמים, אין אף מספר שהוא גם זוגי וגם אי זוגי). מכיוון שהם זרים, החיתוך שלהם הוא הקבוצה הריקה.
איחוד של מאורעות
איחוד של מאורעות (A ו- B) הוא מאורע שמכיל את התוצאות שב-A ו/או ב-B.
איחוד של המאורעות A ו- B מסומן כך: .
למשל:
- בזריקת קוביה מוגדרים המאורעות:
האיחוד של המאורעות הוא כל התוצאות שב-A ו/או ב-B:
חיסור מאורעות
חיסור של מאורע A ממאורע B הוא כל התוצאות שב-A ולא ב-B.
חיסור של המאורעות A מהמאורע B מסומן כך: .
קל לשים לב שבחיסור מאורעות, יש חשיבות לסדר:
למשל:
- בזריקת קוביה מוגדרים המאורעות:
המאורע A-B הוא כל מה שב-A ולא ב-B.