מטריצות ותכונותיהן: הבדלים בין גרסאות בדף
←מטריצה ריבועית: איחוד עם אלגברה לינארית/סוגי מטריצות |
|||
שורה 9: | שורה 9: | ||
==מטריצה ריבועית== |
==מטריצה ריבועית== |
||
{{הגדרה|מספר=7|שם=מטריצה ריבועית|תוכן= |
|||
מטריצה <math>A</math> תיקרא מטריצה ריבועית אם ורק אם מתקיים <math>A \in M_{n,n}(\mathbb{F})</math>, כלומר אם ורק אם מספר העמודות שלה שווה למספר השורות שלה. }} |
|||
{{הגדרה|מספר=8|שם=מטריצת היחידה|תוכן= |
|||
מטריצת היחידה מסדר <math>n</math>, תסומן כ<math>I_{n} \in M_{n,n}(\mathbb{F})</math>, ומוגדרת כך: <math>I_{n}=[\delta_{ij}]_{n\times n}</math>, כאשר <math>\delta_{ij}=\begin{cases} |
|||
1,i=j\\ |
|||
0,i\not= j\\ |
|||
\end{cases}</math> }} |
|||
{{משפט|מספר=5|שם=מטריצת היחידה ניטרלית ביחס לכפל מטריצות, כלומר מתקיים <math>AI_n=I_nA=A</math>|תוכן= |
|||
{{הוכחה| |
|||
<math>\left[AI_n\right]_{ij}=\sum _{l=1}^m\ a_{il}\delta _{lj}=a_{i1}\delta _{1j}+a_{i2}\delta _{2j}+....+a_{ij}\delta _{jj}+....=a_{i1}\cdot 0+a_{i2}\cdot 0+....+a_{ij}\cdot 1+....=a_{ij}</math> |
|||
<math>\left[I_nA\right]_{ij}=\sum _{l=1}^m\ \delta _{il}a_{lj}=\delta \ _{i1}a_{1j}+\delta \ _{i2}a_{2j}+\delta \ _{i3}a_{3j}...+\delta \ _{ii}a_{ij}+...=0\cdot a_{1j}+0\cdot a_{1j}+0\cdot a_{1j}+...+1\cdot a_{ij}+...=a_{ij}</math>}}}} |
|||
==מטריצה הפיכה ותכונותיה== |
==מטריצה הפיכה ותכונותיה== |
גרסה מ־13:19, 9 בינואר 2022
הגדרת המטריצה ומושגים בסיסיים
הגדרה 1: מטריצה מטריצה היא מערך דו מימדי, שרכיביו הם סקלרים מהשדה המדובר,את אוסף המטריצות מסדר נהוג לסמן . |
המטריצה המשוחלפת
כפל מטריצות ותכונותיו
מטריצה ריבועית
מטריצה הפיכה ותכונותיה
הגדרה 9: מטריצה הפיכה מטריצה תיקרא מטריצה הפיכה אם ורק אם קיימת מטריצה כך שמתקיים , מטריצה הפיכה תיקרא מטריצה רגולרית, ומטריצה לא הפיכה תיקרא מטריצה סינגולרית, את המטריצה ההופכית של נסמן . |
משפט 6: משפטי הפיכות 1
|
מטריצה אלמנטרית
הגדרה 10: מטריצה אלמנטרית מטריצה תיקרא מטריצה אלמנטרית אם היא התקבלה ממטריצת היחידה על ידי פעולה אלמנטרית, נהוג לסמן את המטריצה אשר התקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , ב. |
טענה 1: תהי המטריצה האלמנטרית שהתקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , אזי מתקיים |
משפט 7: כל מטריצה אלמנטרית הפיכה, ומתקיים הוכחה:
נבצע על המטריצה את הפעולה ההפוכה, ונקבל את מטריצת היחידה.
|
טענה 2: כל מטריצה הפיכה היא מכפלת מטריצות אלמנטריות |
עוד על מטריצה הפיכה
משפט 8: משפטי הפיכות 2 כל אחד מהתנאים הבאים הוא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות המטריצה :
הוכחה:
|