מטריצות ותכונותיהן

הגדרת המטריצה ומושגים בסיסיים

הגדרה 1: מטריצה מטריצה היא מערך דו מימדי, שרכיביו הם סקלרים מהשדה המדובר,את אוסף המטריצות מסדר $m\times n$ נהוג לסמן $M_{m\times n}(\mathbb {F} )$.

מטריצה ריבועית

הגדרה 7: מטריצה ריבועית מטריצה $A$ תיקרא מטריצה ריבועית אם ורק אם מתקיים $A\in M_{n,n}(\mathbb {F} )$, כלומר אם ורק אם מספר העמודות שלה שווה למספר השורות שלה.

הגדרה 8: מטריצת היחידה מטריצת היחידה מסדר $n$, תסומן כ$I_{n}\in M_{n,n}(\mathbb {F} )$, ומוגדרת כך: $I_{n}=[\delta _{ij}]_{n\times n}$, כאשר $\delta _{ij}={\begin{cases}1,i=j\\0,i\not =j\\\end{cases}}$

משפט 5: מטריצת היחידה ניטרלית ביחס לכפל מטריצות, כלומר מתקיים $AI_{n}=I_{n}A=A$ הוכחה: $\left[AI_{n}\right]_{ij}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}\delta _{lj}=a_{i1}\delta _{1j}+a_{i2}\delta _{2j}+....+a_{ij}\delta _{jj}+....=a_{i1}\cdot 0+a_{i2}\cdot 0+....+a_{ij}\cdot 1+....=a_{ij}$ $\left[I_{n}A\right]_{ij}=\sum _{l=1}^{m}\ \delta _{il}a_{lj}=\delta \ _{i1}a_{1j}+\delta \ _{i2}a_{2j}+\delta \ _{i3}a_{3j}...+\delta \ _{ii}a_{ij}+...=0\cdot a_{1j}+0\cdot a_{1j}+0\cdot a_{1j}+...+1\cdot a_{ij}+...=a_{ij}$

מטריצה הפיכה ותכונותיה

הגדרה 9: מטריצה הפיכה מטריצה $A\in M_{n,n}(\mathbb {F} )$ תיקרא מטריצה הפיכה אם ורק אם קיימת מטריצה $B\in M_{n,n}(\mathbb {F} )$ כך שמתקיים $AB=BA=I_{n}$, מטריצה הפיכה תיקרא מטריצה רגולרית, ומטריצה לא הפיכה תיקרא מטריצה סינגולרית, את המטריצה ההופכית של $A$ נסמן $A^{-1}$.

משפט 6: משפטי הפיכות 1 אם $A$ מטריצה הפיכה ומתקיים $AB=I_{n}$, או $BA=I_{n}$, בהכרח $B=A^{-1}$. אם $A$ מטריצה הפיכה ומתקיים $AB=AC$ או $BA=CA$ אז $B=C$. אם $A$ מטריצה הפיכה, אז מתקיים $(A^{-1})^{-1}=A$. $A$ מטריצה הפיכה אם ורק אם המטריצה $A^{T}$ הפיכה ומתקיים $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$. אם $A,B$ מטריצות הפיכות מאותו הסדר, מתקיים $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$. אם $A$ מטריצה הפיכה, ו$s\not =0$ סקלר, גם $sA$ הפיכה ומתקיים $(sA)^{-1}={\frac {1}{s}}A^{-1}$. הוכחה: $AB=I_{n}\implies A^{-1}AB=A^{-1}I_{n}\implies (A^{-1}A)B=A^{-1}\implies I_{n}B=A^{-1}\implies B=A^{-1}$, ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין. $AB=AC\implies A^{-1}AB=A^{-1}AC\implies (A^{-1}A)B=(A^{-1}A)C\implies I_{n}B=I_{n}C\implies B=C$ ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין. נובע ישירות מהשוויון, מתקיים $AA^{-1}=I_{n}\implies (A^{-1})^{-1}=A$. $AA^{-1}=I_{n}\implies (AA^{-1})^{T}=I_{n}^{T}\implies (A^{-1})^{T}A^{T}=I_{n}$ ולכן $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$, בכיוון השני ההוכחה זהה לחלוטין. $(AB)B^{-1}A^{-1}=A(BB^{-1})A^{-1}=A(I_{n})A^{-1}=AA^{-1}=I_{n}$, וגם $B^{-1}A^{-1}(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}(I_{n})B=B^{-1}B=I_{n}$. $sA({\frac {1}{s}}A^{-1})=(s{\frac {1}{s}})AA^{-1}=1\cdot (AA^{-1})=I_{n}$, וגם ${\frac {1}{s}}A^{-1}(sA)=({\frac {1}{s}}s)AA^{-1}=1\cdot (AA^{-1})=I_{n}$.

מטריצה אלמנטרית

הגדרה 10: מטריצה אלמנטרית מטריצה תיקרא מטריצה אלמנטרית אם היא התקבלה ממטריצת היחידה על ידי פעולה אלמנטרית, נהוג לסמן את המטריצה אשר התקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית $\phi$, ב$\phi (I)$.

טענה 1: תהי $\phi (I)$ המטריצה האלמנטרית שהתקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית $\phi$, אזי מתקיים $\phi \left(I\right)A=\phi \left(A\right)$

משפט 7: כל מטריצה אלמנטרית $\phi (I)$ הפיכה, ומתקיים $(\phi (I))^{-1}=\phi ^{-1}(I)$ הוכחה: נבצע על המטריצה את הפעולה ההפוכה, ונקבל את מטריצת היחידה.

טענה 2: כל מטריצה הפיכה היא מכפלת מטריצות אלמנטריות

עוד על מטריצה הפיכה

משפט 8: משפטי הפיכות 2 כל אחד מהתנאים הבאים הוא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות המטריצה $A$: למשוואה $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}$ קיים רק הפתרון הטריוויאלי לכל וקטור עמודה ${\boldsymbol {b}}$ קיים פתרון למשוואה $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$. לכל וקטור עמודה ${\boldsymbol {b}}$ קיים פתרון יחיד למשוואה $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$. הוכחה: $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}\implies {\boldsymbol {x}}=A^{-1}{\boldsymbol {0}}\implies {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}$. לכל וקטור ${\boldsymbol {b}}\in F^{n}$, מתקיים ש$A^{-1}{\boldsymbol {b}}$ הוא פתרון של המשוואה $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$, כיוון שמתקיים $AA^{-1}{\boldsymbol {b}}=I_{n}{\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {b}}$. נניח כי $A$ מטריצה הפיכה, יהיה ${\boldsymbol {b}}\in F^{n}$ וקטור עמודה, אם ${\mathbf {c}}$ הוא פתרון של המשוואה, אז $A{\mathbf {c}}={\mathbf {b}}$, ולכן נוכל לכפול את שני האגפים ב$A^{-1}$ ונקבל ${\mathbf {c}}=A^{-1}{\mathbf {b}}$, לכן אם קיים פתרון הוא בהכרח שווה ל$A^{-1}{\mathbf {b}}$,ולכן אם קיים פתרון הוא יחיד.