כאשר <math>A \in M_{m,n}(\mathbb{F})</math>, נסמן את המטריצה המשוחלפת שלה כ<math>A^{T}</math>, וההגדרה שלה היא שכל איבר <math>a_{i,j}</math> במטריצה הרגילה, יהפוך לאיבר <math>a_{j,i}</math> במטריצה המשוחלפת, קל לראות שאם <math>A</math> מסדר <math>m\times n</math>, אז <math>A^{T}</math> מסדר <math>n \times m</math>.
דף זה דן בנושא של הדף אלגברה לינארית וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן כנראה שיש לאחד את שני הדפים. (דיון)
הגדרת המטריצה ומושגים בסיסיים
הגדרה 1: מטריצה
מטריצה היא מערך דו מימדי, שרכיביו הם סקלרים מהשדה המדובר,את אוסף המטריצות מסדר נהוג לסמן .
המטריצה המשוחלפת
כפל מטריצות ותכונותיו
הגדרה 6: כפל מטריצות
כפל מטריצות בין מטריצה ,מטריצה מסומן כ אם כופלים מצד ימין, או לחלופין אם כופלים מצד שמאל, הכפל מוגדר רק כאשר אם מסדר , אז מסדר , כלומר הדרישה היא שמספר העמודות במטריצה הימנית יהיה שווה למספר השורות במטריצה השמאלית.
כאשר הכפל מוגדר, כלומר כאשר , האיבר במקום ה במטריצה , יהיה מוגדר כ, כלומר נרוץ על סכימת הכפל של כל זוג איברים.
דוגמא: אזי מתקיים .
משפט 1: אסוציאטיביות כפל מטריצות, אם המכפלה מוגדרת אז מתקיים
הוכחה:
משפט 2: אם המכפלה מוגדרת, אז מתקיים
הוכחה:
משפט 3: פילוגיות כפל מטריצות משמאל מעל חיבור, אם המטריצות מוגדרות, אזי מתקיים
הוכחה:
משפט 4: פילוגיות כפל מטריצות מימין מעל חיבור, אם המטריצות מוגדרות, אזי מתקיים
הוכחה:
מטריצה ריבועית
הגדרה 7: מטריצה ריבועית
מטריצה תיקרא מטריצה ריבועית אם ורק אם מתקיים , כלומר אם ורק אם מספר העמודות שלה שווה למספר השורות שלה.
הגדרה 8: מטריצת היחידה
מטריצת היחידה מסדר , תסומן כ, ומוגדרת כך: , כאשר
משפט 5: מטריצת היחידה ניטרלית ביחס לכפל מטריצות, כלומר מתקיים
הוכחה:
מטריצה הפיכה ותכונותיה
הגדרה 9: מטריצה הפיכה
מטריצה תיקרא מטריצה הפיכה אם ורק אם קיימת מטריצה כך שמתקיים , מטריצה הפיכה תיקרא מטריצה רגולרית, ומטריצה לא הפיכה תיקרא מטריצה סינגולרית, את המטריצה ההופכית של נסמן .
משפט 6: משפטי הפיכות 1
אם מטריצה הפיכה ומתקיים , או , בהכרח .
אם מטריצה הפיכה ומתקיים או אז .
אם מטריצה הפיכה, אז מתקיים .
מטריצה הפיכה אם ורק אם המטריצה הפיכה ומתקיים .
אם מטריצות הפיכות מאותו הסדר, מתקיים .
אם מטריצה הפיכה, ו סקלר, גם הפיכה ומתקיים .
הוכחה:
, ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין.
ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין.
נובע ישירות מהשוויון, מתקיים .
ולכן , בכיוון השני ההוכחה זהה לחלוטין.
, וגם .
, וגם .
מטריצה אלמנטרית
הגדרה 10: מטריצה אלמנטרית
מטריצה תיקרא מטריצה אלמנטרית אם היא התקבלה ממטריצת היחידה על ידי פעולה אלמנטרית, נהוג לסמן את המטריצה אשר התקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , ב.
טענה 1: תהי המטריצה האלמנטרית שהתקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , אזי מתקיים
משפט 7: כל מטריצה אלמנטרית הפיכה, ומתקיים
הוכחה:
נבצע על המטריצה את הפעולה ההפוכה, ונקבל את מטריצת היחידה.
טענה 2: כל מטריצה הפיכה היא מכפלת מטריצות אלמנטריות
עוד על מטריצה הפיכה
משפט 8: משפטי הפיכות 2
כל אחד מהתנאים הבאים הוא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות המטריצה :
למשוואה קיים רק הפתרון הטריוויאלי
לכל וקטור עמודה קיים פתרון למשוואה .
לכל וקטור עמודה קיים פתרון יחיד למשוואה .
הוכחה:
.
לכל וקטור , מתקיים ש הוא פתרון של המשוואה , כיוון שמתקיים .
נניח כי מטריצה הפיכה, יהיה וקטור עמודה, אם הוא פתרון של המשוואה, אז , ולכן נוכל לכפול את שני האגפים ב ונקבל , לכן אם קיים פתרון הוא בהכרח שווה ל,ולכן אם קיים פתרון הוא יחיד.