מטריצות ותכונותיהן: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 3: שורה 3:
{{הגדרה|מספר=1|שם=מטריצה|תוכן=
{{הגדרה|מספר=1|שם=מטריצה|תוכן=
מטריצה היא מערך דו מימדי, שרכיביו הם סקלרים מהשדה המדובר,את אוסף המטריצות מסדר <math>m\times n</math> נהוג לסמן <math>M_{m\times n}(\mathbb{F})</math>. }}
מטריצה היא מערך דו מימדי, שרכיביו הם סקלרים מהשדה המדובר,את אוסף המטריצות מסדר <math>m\times n</math> נהוג לסמן <math>M_{m\times n}(\mathbb{F})</math>. }}

{{הגדרה|מספר=2|שם=סימון רכיבי המטריצה|תוכן=
את האיבר במקום ה<math>(i,j)</math> של המטריצה, נסמן כ<math>a_{ij}</math>.

'''דוגמא:''' במטריצה <math>\begin{pmatrix}2&7\\ 5&4\end{pmatrix}</math>, את האיבר 2 נסמן כ<math>a_{1,1}</math>, את האיבר 7 נסמן כ<math>a_{1,2}</math>, את האיבר 5 נסמן כ<math>a_{2,1}</math>, ואת האיבר 7 נסמן כ<math>a_{2,2}</math>.}}

{{הגדרה|מספר=3|שם=סכום וכפל בסקלר של מטריצות|תוכן=
כאשר יש לנו מטריצה <math>A \in M_{m,n}(\mathbb{F})</math>, וסקלר <math>\lambda \in \mathbb{F}</math>, את כפל המטריצה <math>A</math> בסקלר <math>\lambda</math> נגדיר ככפל כל איבר במטריצה בסקלר הזה. כאשר יש לנו שתי מטריצות מאותו הסדר, <math>A,B\in M_{m,n}(\mathbb{F})</math>, נסמן את סכומן <math>A+B</math>, והאיבר במקום ה<math>(i,j)</math> של מטריצת הסכום שלהן מוגדר להיות <math>a_{i,j}+b_{i,j}</math>.

'''דוגמא:''' ניקח את המטריצה <math>\begin{pmatrix}2&7\\ 5&4\end{pmatrix}</math>, ונכפול אותה בסלקר 2, נקבל <math>2\cdot \begin{pmatrix}2&7\\ 5&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot 2&2\cdot 7\\ \ 2 \cdot 5&2 \cdot 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&14\\ \ 10&8 \end{pmatrix}</math>.


'''דוגמא 2:''' ניקח את המטריצות <math>\begin{pmatrix}1&2\\ 4&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5&4\\ 1&7\end{pmatrix}</math>, אזי הסכום יהיה <math>\begin{pmatrix}1+5&2+4\\ 4+1&3+7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&6\\ 5&10\end{pmatrix}</math>. }}


== המטריצה המשוחלפת ==
== המטריצה המשוחלפת ==

גרסה מ־13:02, 9 בינואר 2022


הגדרת המטריצה ומושגים בסיסיים

הגדרה 1: מטריצה

מטריצה היא מערך דו מימדי, שרכיביו הם סקלרים מהשדה המדובר,את אוסף המטריצות מסדר נהוג לסמן .

המטריצה המשוחלפת

הגדרה 4: המטריצה המשוחלפת

כאשר , נסמן את המטריצה המשוחלפת שלה כ, וההגדרה שלה היא שכל איבר במטריצה הרגילה, יהפוך לאיבר במטריצה המשוחלפת, קל לראות שאם מסדר , אז מסדר .

דוגמא: ניקח את המטריצה , אזי


הגדרה 5: מטריצה סימטרית ואנטי סימטרית

מטריצה תיקרא מטריצה סימטרית אם , ומטריצה תחקרא מטריצה אנטי סימטרית אם

כפל מטריצות ותכונותיו

הגדרה 6: כפל מטריצות

כפל מטריצות בין מטריצה ,מטריצה מסומן כ אם כופלים מצד ימין, או לחלופין אם כופלים מצד שמאל, הכפל מוגדר רק כאשר אם מסדר , אז מסדר , כלומר הדרישה היא שמספר העמודות במטריצה הימנית יהיה שווה למספר השורות במטריצה השמאלית.

כאשר הכפל מוגדר, כלומר כאשר , האיבר במקום ה במטריצה , יהיה מוגדר כ, כלומר נרוץ על סכימת הכפל של כל זוג איברים.


דוגמא: אזי מתקיים .



משפט 1: אסוציאטיביות כפל מטריצות, אם המכפלה מוגדרת אז מתקיים

הוכחה:



משפט 2: אם המכפלה מוגדרת, אז מתקיים

הוכחה:




משפט 3: פילוגיות כפל מטריצות משמאל מעל חיבור, אם המטריצות מוגדרות, אזי מתקיים

הוכחה:



משפט 4: פילוגיות כפל מטריצות מימין מעל חיבור, אם המטריצות מוגדרות, אזי מתקיים

הוכחה:


מטריצה ריבועית

הגדרה 7: מטריצה ריבועית

מטריצה תיקרא מטריצה ריבועית אם ורק אם מתקיים , כלומר אם ורק אם מספר העמודות שלה שווה למספר השורות שלה.


הגדרה 8: מטריצת היחידה

מטריצת היחידה מסדר , תסומן כ, ומוגדרת כך: , כאשר



משפט 5: מטריצת היחידה ניטרלית ביחס לכפל מטריצות, כלומר מתקיים

הוכחה:



מטריצה הפיכה ותכונותיה

הגדרה 9: מטריצה הפיכה

מטריצה תיקרא מטריצה הפיכה אם ורק אם קיימת מטריצה כך שמתקיים , מטריצה הפיכה תיקרא מטריצה רגולרית, ומטריצה לא הפיכה תיקרא מטריצה סינגולרית, את המטריצה ההופכית של נסמן .



משפט 6: משפטי הפיכות 1

  • אם מטריצה הפיכה ומתקיים , או , בהכרח .
  • אם מטריצה הפיכה ומתקיים או אז .
  • אם מטריצה הפיכה, אז מתקיים .
  • מטריצה הפיכה אם ורק אם המטריצה הפיכה ומתקיים .
  • אם מטריצות הפיכות מאותו הסדר, מתקיים .
  • אם מטריצה הפיכה, ו סקלר, גם הפיכה ומתקיים .


הוכחה:

  • , ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין.
  • ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין.
  • נובע ישירות מהשוויון, מתקיים .
  • ולכן , בכיוון השני ההוכחה זהה לחלוטין.
  • , וגם .
  • , וגם .





מטריצה אלמנטרית

הגדרה 10: מטריצה אלמנטרית

מטריצה תיקרא מטריצה אלמנטרית אם היא התקבלה ממטריצת היחידה על ידי פעולה אלמנטרית, נהוג לסמן את המטריצה אשר התקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , ב.


טענה 1: תהי המטריצה האלמנטרית שהתקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , אזי מתקיים



משפט 7: כל מטריצה אלמנטרית הפיכה, ומתקיים

הוכחה: נבצע על המטריצה את הפעולה ההפוכה, ונקבל את מטריצת היחידה.


טענה 2: כל מטריצה הפיכה היא מכפלת מטריצות אלמנטריות

עוד על מטריצה הפיכה

משפט 8: משפטי הפיכות 2

כל אחד מהתנאים הבאים הוא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות המטריצה :

  • למשוואה קיים רק הפתרון הטריוויאלי
  • לכל וקטור עמודה קיים פתרון למשוואה .
  • לכל וקטור עמודה קיים פתרון יחיד למשוואה .



הוכחה:

  • .
  • לכל וקטור , מתקיים ש הוא פתרון של המשוואה , כיוון שמתקיים .
  • נניח כי מטריצה הפיכה, יהיה וקטור עמודה, אם הוא פתרון של המשוואה, אז , ולכן נוכל לכפול את שני האגפים ב ונקבל , לכן אם קיים פתרון הוא בהכרח שווה ל,ולכן אם קיים פתרון הוא יחיד.