מטריצות ותכונותיהן: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 3: | שורה 3: | ||
{{הגדרה|מספר=1|שם=מטריצה|תוכן= |
{{הגדרה|מספר=1|שם=מטריצה|תוכן= |
||
מטריצה היא מערך דו מימדי, שרכיביו הם סקלרים מהשדה המדובר,את אוסף המטריצות מסדר <math>m\times n</math> נהוג לסמן <math>M_{m\times n}(\mathbb{F})</math>. }} |
מטריצה היא מערך דו מימדי, שרכיביו הם סקלרים מהשדה המדובר,את אוסף המטריצות מסדר <math>m\times n</math> נהוג לסמן <math>M_{m\times n}(\mathbb{F})</math>. }} |
||
{{הגדרה|מספר=2|שם=סימון רכיבי המטריצה|תוכן= |
|||
את האיבר במקום ה<math>(i,j)</math> של המטריצה, נסמן כ<math>a_{ij}</math>. |
|||
'''דוגמא:''' במטריצה <math>\begin{pmatrix}2&7\\ 5&4\end{pmatrix}</math>, את האיבר 2 נסמן כ<math>a_{1,1}</math>, את האיבר 7 נסמן כ<math>a_{1,2}</math>, את האיבר 5 נסמן כ<math>a_{2,1}</math>, ואת האיבר 7 נסמן כ<math>a_{2,2}</math>.}} |
|||
{{הגדרה|מספר=3|שם=סכום וכפל בסקלר של מטריצות|תוכן= |
|||
כאשר יש לנו מטריצה <math>A \in M_{m,n}(\mathbb{F})</math>, וסקלר <math>\lambda \in \mathbb{F}</math>, את כפל המטריצה <math>A</math> בסקלר <math>\lambda</math> נגדיר ככפל כל איבר במטריצה בסקלר הזה. כאשר יש לנו שתי מטריצות מאותו הסדר, <math>A,B\in M_{m,n}(\mathbb{F})</math>, נסמן את סכומן <math>A+B</math>, והאיבר במקום ה<math>(i,j)</math> של מטריצת הסכום שלהן מוגדר להיות <math>a_{i,j}+b_{i,j}</math>. |
|||
'''דוגמא:''' ניקח את המטריצה <math>\begin{pmatrix}2&7\\ 5&4\end{pmatrix}</math>, ונכפול אותה בסלקר 2, נקבל <math>2\cdot \begin{pmatrix}2&7\\ 5&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot 2&2\cdot 7\\ \ 2 \cdot 5&2 \cdot 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&14\\ \ 10&8 \end{pmatrix}</math>. |
|||
'''דוגמא 2:''' ניקח את המטריצות <math>\begin{pmatrix}1&2\\ 4&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5&4\\ 1&7\end{pmatrix}</math>, אזי הסכום יהיה <math>\begin{pmatrix}1+5&2+4\\ 4+1&3+7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&6\\ 5&10\end{pmatrix}</math>. }} |
|||
== המטריצה המשוחלפת == |
== המטריצה המשוחלפת == |
גרסה מ־13:02, 9 בינואר 2022
הגדרת המטריצה ומושגים בסיסיים
הגדרה 1: מטריצה מטריצה היא מערך דו מימדי, שרכיביו הם סקלרים מהשדה המדובר,את אוסף המטריצות מסדר נהוג לסמן . |
המטריצה המשוחלפת
הגדרה 4: המטריצה המשוחלפת כאשר , נסמן את המטריצה המשוחלפת שלה כ, וההגדרה שלה היא שכל איבר במטריצה הרגילה, יהפוך לאיבר במטריצה המשוחלפת, קל לראות שאם מסדר , אז מסדר . דוגמא: ניקח את המטריצה , אזי |
הגדרה 5: מטריצה סימטרית ואנטי סימטרית מטריצה תיקרא מטריצה סימטרית אם , ומטריצה תחקרא מטריצה אנטי סימטרית אם |
כפל מטריצות ותכונותיו
הגדרה 6: כפל מטריצות כפל מטריצות בין מטריצה ,מטריצה מסומן כ אם כופלים מצד ימין, או לחלופין אם כופלים מצד שמאל, הכפל מוגדר רק כאשר אם מסדר , אז מסדר , כלומר הדרישה היא שמספר העמודות במטריצה הימנית יהיה שווה למספר השורות במטריצה השמאלית. כאשר הכפל מוגדר, כלומר כאשר , האיבר במקום ה במטריצה , יהיה מוגדר כ, כלומר נרוץ על סכימת הכפל של כל זוג איברים.
|
משפט 1: אסוציאטיביות כפל מטריצות, אם המכפלה מוגדרת אז מתקיים הוכחה:
|
משפט 2: אם המכפלה מוגדרת, אז מתקיים הוכחה:
|
משפט 3: פילוגיות כפל מטריצות משמאל מעל חיבור, אם המטריצות מוגדרות, אזי מתקיים הוכחה:
|
משפט 4: פילוגיות כפל מטריצות מימין מעל חיבור, אם המטריצות מוגדרות, אזי מתקיים הוכחה:
|
מטריצה ריבועית
הגדרה 7: מטריצה ריבועית מטריצה תיקרא מטריצה ריבועית אם ורק אם מתקיים , כלומר אם ורק אם מספר העמודות שלה שווה למספר השורות שלה. |
הגדרה 8: מטריצת היחידה מטריצת היחידה מסדר , תסומן כ, ומוגדרת כך: , כאשר |
משפט 5: מטריצת היחידה ניטרלית ביחס לכפל מטריצות, כלומר מתקיים הוכחה:
|
מטריצה הפיכה ותכונותיה
הגדרה 9: מטריצה הפיכה מטריצה תיקרא מטריצה הפיכה אם ורק אם קיימת מטריצה כך שמתקיים , מטריצה הפיכה תיקרא מטריצה רגולרית, ומטריצה לא הפיכה תיקרא מטריצה סינגולרית, את המטריצה ההופכית של נסמן . |
משפט 6: משפטי הפיכות 1
|
מטריצה אלמנטרית
הגדרה 10: מטריצה אלמנטרית מטריצה תיקרא מטריצה אלמנטרית אם היא התקבלה ממטריצת היחידה על ידי פעולה אלמנטרית, נהוג לסמן את המטריצה אשר התקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , ב. |
טענה 1: תהי המטריצה האלמנטרית שהתקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , אזי מתקיים |
משפט 7: כל מטריצה אלמנטרית הפיכה, ומתקיים הוכחה:
נבצע על המטריצה את הפעולה ההפוכה, ונקבל את מטריצת היחידה.
|
טענה 2: כל מטריצה הפיכה היא מכפלת מטריצות אלמנטריות |
עוד על מטריצה הפיכה
משפט 8: משפטי הפיכות 2 כל אחד מהתנאים הבאים הוא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות המטריצה :
הוכחה:
|