מטריצות ותכונותיהן

הגדרת המטריצה ומושגים בסיסיים

הגדרה 1: מטריצה מטריצה היא מערך דו מימדי, שרכיביו הם סקלרים מהשדה המדובר,את אוסף המטריצות מסדר $m\times n$ נהוג לסמן $M_{m\times n}(\mathbb {F} )$.

הגדרה 2: סימון רכיבי המטריצה את האיבר במקום ה$(i,j)$ של המטריצה, נסמן כ$a_{ij}$. דוגמא: במטריצה ${\begin{pmatrix}2&7\\5&4\end{pmatrix}}$, את האיבר 2 נסמן כ$a_{1,1}$, את האיבר 7 נסמן כ$a_{1,2}$, את האיבר 5 נסמן כ$a_{2,1}$, ואת האיבר 7 נסמן כ$a_{2,2}$.

הגדרה 3: סכום וכפל בסקלר של מטריצות כאשר יש לנו מטריצה $A\in M_{m,n}(\mathbb {F} )$, וסקלר $\lambda \in \mathbb {F}$, את כפל המטריצה $A$ בסקלר $\lambda$ נגדיר ככפל כל איבר במטריצה בסקלר הזה. כאשר יש לנו שתי מטריצות מאותו הסדר, $A,B\in M_{m,n}(\mathbb {F} )$, נסמן את סכומן $A+B$, והאיבר במקום ה$(i,j)$ של מטריצת הסכום שלהן מוגדר להיות $a_{i,j}+b_{i,j}$. דוגמא: ניקח את המטריצה ${\begin{pmatrix}2&7\\5&4\end{pmatrix}}$, ונכפול אותה בסלקר 2, נקבל $2\cdot {\begin{pmatrix}2&7\\5&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 2&2\cdot 7\\\ 2\cdot 5&2\cdot 4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&14\\\ 10&8\end{pmatrix}}$. דוגמא 2: ניקח את המטריצות ${\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}5&4\\1&7\end{pmatrix}}$, אזי הסכום יהיה ${\begin{pmatrix}1+5&2+4\\4+1&3+7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&6\\5&10\end{pmatrix}}$.

המטריצה המשוחלפת

הגדרה 4: המטריצה המשוחלפת כאשר $A\in M_{m,n}(\mathbb {F} )$, נסמן את המטריצה המשוחלפת שלה כ$A^{T}$, וההגדרה שלה היא שכל איבר $a_{i,j}$ במטריצה הרגילה, יהפוך לאיבר $a_{j,i}$ במטריצה המשוחלפת, קל לראות שאם $A$ מסדר $m\times n$, אז $A^{T}$ מסדר $n\times m$. דוגמא: ניקח את המטריצה $A={\begin{pmatrix}3&4&5\\6&7&1\end{pmatrix}}$, אזי $A^{T}={\begin{pmatrix}3&6\\4&7\\5&1\end{pmatrix}}$

הגדרה 5: מטריצה סימטרית ואנטי סימטרית מטריצה $A$ תיקרא מטריצה סימטרית אם $A^{T}=A$, ומטריצה $A$ תחקרא מטריצה אנטי סימטרית אם $A^{T}=-A$

כפל מטריצות ותכונותיו

הגדרה 6: כפל מטריצות כפל מטריצות בין מטריצה $A$ ,מטריצה $B$ מסומן כ$AB$ אם כופלים מצד ימין, או לחלופין $BA$ אם כופלים מצד שמאל, הכפל $AB$ מוגדר רק כאשר אם $A$ מסדר $m\times n$, אז $B$ מסדר $n\times z$, כלומר הדרישה היא שמספר העמודות במטריצה הימנית יהיה שווה למספר השורות במטריצה השמאלית. כאשר הכפל $AB$ מוגדר, כלומר כאשר $A\in M_{m,n}(\mathbb {F} ),B\in M_{n,z}(\mathbb {F} )$, האיבר במקום ה$(i,j)$ במטריצה $AB$, יהיה מוגדר כ$\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}b_{lj}$, כלומר נרוץ על סכימת הכפל של כל זוג איברים. דוגמא: $A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}5&4\\3&2\end{pmatrix}}$ אזי מתקיים $AB={\begin{pmatrix}5+6&4+4\\15+12&12+8\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}11&8\\27&20\end{pmatrix}}$.

משפט 1: אסוציאטיביות כפל מטריצות, אם המכפלה $ABC$ מוגדרת אז מתקיים $A(BC)=(AB)C$ הוכחה: $\left[\left(AB\right)C\right]_{ij}=\sum _{k=1}^{p}\ \left[AB\right]_{ik}c_{kj}=\sum _{k=1}^{p}\left(\sum _{l=1}^{n}a_{il}b_{lk}\ \right)c_{kj}=\sum _{k=1}^{p}\left(\sum _{l=1}^{n}a_{il}b_{lk}c_{kj}\ \right)=\sum _{l=1}^{n}a_{il}\left(\sum _{k=1}^{p}b_{lk}c_{kj}\ \right)=\ \sum _{l=1}^{n}a_{il}\left[BC\right]_{lj}=\left[A\left(BC\right)\right]_{ij}$

משפט 2: אם המכפלה $AB$ מוגדרת, אז מתקיים $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ הוכחה: $\left[\left(AB\right)^{T}\right]_{ij}=\left[AB\right]_{ji}=\sum _{l=1}^{n}\ a_{jl}b_{li}=\sum \ _{l=1}^{n}\ b_{li}a_{jl}=\sum _{i=1}^{n}\ \left[B^{T}\right]_{il}\left[A^{T}\right]_{lj}=\left[B^{T}A^{T}\right]_{ij}$

משפט 3: פילוגיות כפל מטריצות משמאל מעל חיבור, אם המטריצות $AB,AC$ מוגדרות, אזי מתקיים $A(B+C)=AB+AC$ הוכחה: $\left[A\left(B+C\right)\right]_{ij}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}\left(b_{lk}+c_{lk}\right)=\sum _{l=1}^{m}\ \ a_{il}b_{lk}+a_{il}c_{lk}=\sum _{l=1}^{m}\ \ a_{il}b_{lk}+\sum _{l=1}^{m}\ \ a_{il}c_{lk}=\left[AB\right]_{ij}+\left[AC\right]_{ij}=\left[AB+AC\right]_{ij}$

משפט 4: פילוגיות כפל מטריצות מימין מעל חיבור, אם המטריצות $AC,BC$ מוגדרות, אזי מתקיים $(A+B)C=AC+BC$ הוכחה: $\left[\left(A+B\right)C\right]_{ij}=\sum _{l=1}^{m}\left(a_{il+b_{il}}\right)c_{lj}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}c_{lj}+b_{il}c_{lk}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}c_{lj}+\sum _{l=1}^{m}\ b_{il}c_{lj}=\left[AC\right]_{ij}+\left[BC\right]_{ij}=\left[AC+BC\right]_{ij}$

מטריצה ריבועית

הגדרה 7: מטריצה ריבועית מטריצה $A$ תיקרא מטריצה ריבועית אם ורק אם מתקיים $A\in M_{n,n}(\mathbb {F} )$, כלומר אם ורק אם מספר העמודות שלה שווה למספר השורות שלה.

הגדרה 8: מטריצת היחידה מטריצת היחידה מסדר $n$, תסומן כ$I_{n}\in M_{n,n}(\mathbb {F} )$, ומוגדרת כך: $I_{n}=[\delta _{ij}]_{n\times n}$, כאשר $\delta _{ij}={\begin{cases}1,i=j\\0,i\not =j\\\end{cases}}$

משפט 5: מטריצת היחידה ניטרלית ביחס לכפל מטריצות, כלומר מתקיים $AI_{n}=I_{n}A=A$ הוכחה: $\left[AI_{n}\right]_{ij}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}\delta _{lj}=a_{i1}\delta _{1j}+a_{i2}\delta _{2j}+....+a_{ij}\delta _{jj}+....=a_{i1}\cdot 0+a_{i2}\cdot 0+....+a_{ij}\cdot 1+....=a_{ij}$ $\left[I_{n}A\right]_{ij}=\sum _{l=1}^{m}\ \delta _{il}a_{lj}=\delta \ _{i1}a_{1j}+\delta \ _{i2}a_{2j}+\delta \ _{i3}a_{3j}...+\delta \ _{ii}a_{ij}+...=0\cdot a_{1j}+0\cdot a_{1j}+0\cdot a_{1j}+...+1\cdot a_{ij}+...=a_{ij}$

מטריצה הפיכה ותכונותיה

הגדרה 9: מטריצה הפיכה מטריצה $A\in M_{n,n}(\mathbb {F} )$ תיקרא מטריצה הפיכה אם ורק אם קיימת מטריצה $B\in M_{n,n}(\mathbb {F} )$ כך שמתקיים $AB=BA=I_{n}$, מטריצה הפיכה תיקרא מטריצה רגולרית, ומטריצה לא הפיכה תיקרא מטריצה סינגולרית, את המטריצה ההופכית של $A$ נסמן $A^{-1}$.

משפט 6: משפטי הפיכות 1 אם $A$ מטריצה הפיכה ומתקיים $AB=I_{n}$, או $BA=I_{n}$, בהכרח $B=A^{-1}$. אם $A$ מטריצה הפיכה ומתקיים $AB=AC$ או $BA=CA$ אז $B=C$. אם $A$ מטריצה הפיכה, אז מתקיים $(A^{-1})^{-1}=A$. $A$ מטריצה הפיכה אם ורק אם המטריצה $A^{T}$ הפיכה ומתקיים $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$. אם $A,B$ מטריצות הפיכות מאותו הסדר, מתקיים $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$. אם $A$ מטריצה הפיכה, ו$s\not =0$ סקלר, גם $sA$ הפיכה ומתקיים $(sA)^{-1}={\frac {1}{s}}A^{-1}$. הוכחה: $AB=I_{n}\implies A^{-1}AB=A^{-1}I_{n}\implies (A^{-1}A)B=A^{-1}\implies I_{n}B=A^{-1}\implies B=A^{-1}$, ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין. $AB=AC\implies A^{-1}AB=A^{-1}AC\implies (A^{-1}A)B=(A^{-1}A)C\implies I_{n}B=I_{n}C\implies B=C$ ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין. נובע ישירות מהשוויון, מתקיים $AA^{-1}=I_{n}\implies (A^{-1})^{-1}=A$. $AA^{-1}=I_{n}\implies (AA^{-1})^{T}=I_{n}^{T}\implies (A^{-1})^{T}A^{T}=I_{n}$ ולכן $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$, בכיוון השני ההוכחה זהה לחלוטין. $(AB)B^{-1}A^{-1}=A(BB^{-1})A^{-1}=A(I_{n})A^{-1}=AA^{-1}=I_{n}$, וגם $B^{-1}A^{-1}(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}(I_{n})B=B^{-1}B=I_{n}$. $sA({\frac {1}{s}}A^{-1})=(s{\frac {1}{s}})AA^{-1}=1\cdot (AA^{-1})=I_{n}$, וגם ${\frac {1}{s}}A^{-1}(sA)=({\frac {1}{s}}s)AA^{-1}=1\cdot (AA^{-1})=I_{n}$.

מטריצה אלמנטרית

הגדרה 10: מטריצה אלמנטרית מטריצה תיקרא מטריצה אלמנטרית אם היא התקבלה ממטריצת היחידה על ידי פעולה אלמנטרית, נהוג לסמן את המטריצה אשר התקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית $\phi$, ב$\phi (I)$.

טענה 1: תהי $\phi (I)$ המטריצה האלמנטרית שהתקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית $\phi$, אזי מתקיים $\phi \left(I\right)A=\phi \left(A\right)$

משפט 7: כל מטריצה אלמנטרית $\phi (I)$ הפיכה, ומתקיים $(\phi (I))^{-1}=\phi ^{-1}(I)$ הוכחה: נבצע על המטריצה את הפעולה ההפוכה, ונקבל את מטריצת היחידה.

טענה 2: כל מטריצה הפיכה היא מכפלת מטריצות אלמנטריות

עוד על מטריצה הפיכה

משפט 8: משפטי הפיכות 2 כל אחד מהתנאים הבאים הוא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות המטריצה $A$: למשוואה $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}$ קיים רק הפתרון הטריוויאלי לכל וקטור עמודה ${\boldsymbol {b}}$ קיים פתרון למשוואה $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$. לכל וקטור עמודה ${\boldsymbol {b}}$ קיים פתרון יחיד למשוואה $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$. הוכחה: $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}\implies {\boldsymbol {x}}=A^{-1}{\boldsymbol {0}}\implies {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}$. לכל וקטור ${\boldsymbol {b}}\in F^{n}$, מתקיים ש$A^{-1}{\boldsymbol {b}}$ הוא פתרון של המשוואה $A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$, כיוון שמתקיים $AA^{-1}{\boldsymbol {b}}=I_{n}{\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {b}}$. נניח כי $A$ מטריצה הפיכה, יהיה ${\boldsymbol {b}}\in F^{n}$ וקטור עמודה, אם ${\mathbf {c}}$ הוא פתרון של המשוואה, אז $A{\mathbf {c}}={\mathbf {b}}$, ולכן נוכל לכפול את שני האגפים ב$A^{-1}$ ונקבל ${\mathbf {c}}=A^{-1}{\mathbf {b}}$, לכן אם קיים פתרון הוא בהכרח שווה ל$A^{-1}{\mathbf {b}}$,ולכן אם קיים פתרון הוא יחיד.