גבול של פונקציה

גבול של פונקציה בנקודה

הגדרה: גבול של פונקציה בנקודה לפי קושי תהי $f$ פונקציה המוגדרת בסביבה נקודה של $a$, נאמר שהגבול של הפונקציה $f$ כאשר $x$ שואף ל$a$ הוא $L$, אם לכל $\epsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $|x-a|<\delta$ מתקיים $|f(x)-L|<\epsilon$, ונסמן ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=L$. דוגמא: נוכיח שמתקיים ${\underset {x\to 2}{\lim }}f(x)=9$, כאשר $f(x)=2x+5$. יהי $\epsilon >0$, נבחר $\delta ={\frac {\epsilon }{2}}$, לכן כאשר $|x-2|<\delta$ מתקיים $|f(x)-L|=|2x+5-9|=|2x-4|=2|x-2|<2\delta =\epsilon$, ולכן מתקיים ${\underset {x\to 2}{\lim }}f(x)=9$. $\blacksquare$

הגדרת הגבול לפי היינה

הגדרה: הגדרת הגבול לפי היינה תהי $f$ פונקציה המוגדרת בסביבה נקודה של $a$, אז ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=L$ אם לכל סדרה $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ המקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$, ולכל $n$, $x_{n}\not =a$, מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})=L$.

משפט: הגדרת הגבול לפי היינה שקולה להגדרת הגבול לפי קושי הוכחה: נוכיח את הכיוון הראשון, נניח שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=L$, וגם שמתקיים לסדרה(כללית) $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$, ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$, ולכל $n$ גם $x_{n}\not =a$. לפי הגדרת הגבול של פונקציה לפי קושי, לכל $\epsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $|x-a|<\delta$ מתקיים $|f(x)-L|<\epsilon$, ולפי ההנחה שמתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$, לכל $\epsilon >0$ קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $|x_{n}-a|<\epsilon$, לכן קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $|x_{n}-a|<\delta$, אבל אז לפי הגדרת הגבול של קושי מתקיים לכל $n>N$ גם $|f(x_{n})-L|<\epsilon$, ולכן ${\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})=L$. בכיוון השני, נניח שמתקיימת הגדרת הגבול לפי היינה, כלומר לכל סדרה $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ המקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$, ולכל $n$, $x_{n}\not =a$, מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})=L$, ונניח בשלילה שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)\not =L$, לכן לכל $\delta >0$ קיים $x$ וקיים $\epsilon >0$ כך שמתקיים $|x-a|<\delta$ אבל $|f(x)-L|\geq \epsilon$, וכיוון שזה נכון לכל $\delta >0$, זה בהכרח נכון ל$\delta =1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}}...$, לכן לכל $n\in \mathbb {N}$ קיים $x_{n}$ כך שמתקיים $|x_{n}-a|<{\frac {1}{n}}$, אבל $|f(x_{n})-L|<\epsilon$, לכן קיבלנו סדרה של ערכים, $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$, כיוון שמתקיים לכל $n\in \mathbb {N}$ האי שוויון $a-{\frac {1}{n}}<x_{n}<a+{\frac {1}{n}}$, ושני הצדדים שואפים ל$a$, נקבל לפי משפט הסנדוויץ שמתקיים גם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$, אבל אז לפי ההנחה שלנו(היינה) מתקיים גם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})=L$, וזאת בסתירה לכך שהנחנו שלכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים $|f(x_{n})-L|\geq \epsilon$. {{{תוכן}}}

}}

משפט: יחידות הגבול, אם ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=L$ וגם ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=M$ אז בהכרח $L=M$. הוכחה: נניח שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=L$ וגם ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=M$, אבל $L\not =M$, ונניח ללא הגבלת הכלליות שמתקיים $L>M$, נבחר $\epsilon ={\frac {L-M}{5}}$, אז קיימת $\delta _{1}$ כך שלכל $|x-a|<\delta _{1}$ מתקיים $L-{\frac {L-M}{5}}<x<L+{\frac {L-M}{5}}$, וגם קיימת $\delta _{2}$ כך שלכל $|x-a|<\delta _{2}$ מתקיים $L-{\frac {L-M}{5}}<x<L+{\frac {L-M}{5}}$ אבל כיוון שמתקיים $L>M$, מתקיים גם $L-{\frac {L-M}{5}}>M+{\frac {L-M}{5}}$, ולכן נקבל שמתקיים $M-{\frac {L-M}{5}}<x<M+{\frac {L-M}{5}}<L-{\frac {L-M}{5}}<x<L+{\frac {L-M}{5}}$ בסתירה, ולכן $L=M$.

אריתמטיקת גבולות של פונקציה בנקודה

משפט: אריתמטיקת גבולות של פונקציה בנקודה תהיו $f,g$ פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של $a$, כך שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=L,{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=M$, אז מתקיים: ${\underset {x\to a}{\lim }}(f(x)+g(x))={\underset {x\to a}{\lim }}f(x)+{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=L+M$. ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)\cdot g(x)={\underset {x\to a}{\lim }}f(x)\cdot {\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=L\cdot M$. אם מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}g(x)\not =0$ אז ${\underset {x\to a}{\lim }}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {{\underset {x\to a}{\lim }}f(x)}{{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)}}={\frac {L}{M}}$ ${\underset {x\to a}{\lim }}(f(x)-g(x))={\underset {x\to a}{\lim }}f(x)-{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=L-M$. הוכחה: תחילה, אם $f$ מוגדרת בסביבת $\delta _{1}$ של $a$, ו$g$ מוגדרת בסביבת $\delta _{2}$ של $a$, אז $f$ וגם $g$ מוגדרת בסביבת $\min(\delta _{1},\delta _{2})$ של $a$. נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=L,{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=M$, אזי לכל סדרה $x_{n}$ שמקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$ מתקיים גם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})=L$, ולכל סדרה $y_{n}$ שמקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}y_{n}=a$ מתקיים גם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}g(x_{n})=M$, לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות: ${\underset {n\to \infty }{\lim }}(f(x_{n})+g(y_{n}))={\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})+{\underset {n\to \infty }{\lim }}g(x_{n})=L+M$, ולכן ${\underset {x\to a}{\lim }}(f(x)+g(x))={\underset {x\to a}{\lim }}f(x)+{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=L+M$. נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=L,{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=M$, אזי לכל סדרה $x_{n}$ שמקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$ מתקיים גם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})=L$, ולכל סדרה $y_{n}$ שמקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}y_{n}=a$ מתקיים גם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}g(x_{n})=M$, לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות: ${\underset {n\to \infty }{\lim }}(f(x_{n})\cdot g(y_{n}))={\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})\cdot {\underset {n\to \infty }{\lim }}g(x_{n})=L\cdot M$, ולכן ${\underset {x\to a}{\lim }}(f(x)\cdot g(x))={\underset {x\to a}{\lim }}f(x)\cdot {\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=L\cdot M$. נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=L,{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=M$, אזי לכל סדרה $x_{n}$ שמקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$ מתקיים גם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})=L$, ולכל סדרה $y_{n}$ שמקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}y_{n}=a$ מתקיים גם ${\underset {n\to \infty }{\lim }}g(x_{n})=M$, לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות: ${\underset {n\to \infty }{\lim }}({\frac {x_{n}}{y_{n}}})={\frac {{\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}}{{\underset {n\to \infty }{\lim }}y_{n}}}={\frac {L}{M}}$, ולכן ${\underset {x\to a}{\lim }}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {{\underset {x\to a}{\lim }}f(x)}{{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)}}={\frac {L}{M}}$. לפי כלל הסכום שהוכחנו, וכלל הכפל, נוכל לכתוב ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)-{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)={\underset {x\to a}{\lim }}f(x)+(-1){\underset {x\to a}{\lim }}f(x)$, ונקבל מיידית את המבוקש.

משפטי גבולות

משפט: משפטי גבולות תהיו $f,g$ פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של $a$, ונניח שהגבולות ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x),{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)$ קיימים, אז: אם קיימת סביבה נקובה של $a$ שבה מתקיים $f(x)\leq g(x)$, אז מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)\leq {\underset {x\to a}{\lim }}g(x)$. אם מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)<{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)$ אז קיימת סביבה נקובה של $a$ שבה מתקיים $f(x)<g(x)$. משפט הסנדוויץ' לפונקציות, תהיו $f,g,h$ פונקציות, ונניח שהגבולות ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x),{\underset {x\to a}{\lim }}h(x)$ קיימים ושווים זה לזה, וגם קיימת סביבה מנוקבת של $a$ שבה מתקיים $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$, אז קיים גם הגבול ${\underset {x\to a}{\lim }}g(x)$, ומתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)={\underset {x\to a}{\lim }}g(x)={\underset {x\to a}{\lim }}h(x)$. הוכחה: 1. נניח שקיימת סביבה נקובה של $a$ שבה מתקיים $f(x)\leq g(x)$, נקרא לה $\delta _{0}$, ונסמן ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=L,{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=M$, ונניח בשלילה שקיימת סביבה נקובה שבה מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)>{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)$, נסמן אותה $\delta _{1}$. לפי הגדרת הגבול, קיים $\delta _{2}$ כך שלכל $|x-a|<\delta _{2}$ מתקיים $L-{\frac {L-M}{5}}<f(x)<L+{\frac {L-M}{5}}$, וגם קיים $\delta _{3}$ כך שלכל $|x-a|<\delta _{3}$ מתקיים $M-{\frac {L-M}{5}}<g(x)<M+{\frac {L-M}{5}}$, נבחר $\delta =\min(\delta _{0},\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3})$, ולכן מתקיימים כל התנאים, אבל גם מתקיים $M-{\frac {L-M}{5}}<g(x)<M+{\frac {L-M}{5}}{\overset {(1)}{<}}L-{\frac {L-M}{5}}<f(x)<L+{\frac {L-M}{5}}$, ומטרנזיטיביות היחס $<$ נקבל שמתקיים $g(x)<f(x)$, בסתירה לכך שבסביבה שבחרנו מתקיים $f(x)\leq g(x)$, קיבלנו סתירה ולכן בהכרח מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)\leq {\underset {x\to a}{\lim }}g(x)$. (1) כיוון שהנחנו שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)>{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)$, כלומר $L>M$. $\blacksquare$ 2. נניח שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)>{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)$, לכן לפי הגדרת הגבול קיים $\delta _{0}$ כך שלכל $|x-a|<\delta _{0}$ מתקיים $L-{\frac {L-M}{5}}<f(x)<L+{\frac {L-M}{5}}$, וגם קיים $\delta _{1}$ כך שלכל $|x-a|<\delta _{0}$, מתקיים $M-{\frac {L-M}{5}}<g(x)<M+{\frac {L-M}{5}}$, נבחר $\delta =\min(\delta _{0},\delta _{1})$, לכן מתקיימים שני התנאים, ומתקיים $L-{\frac {L-M}{5}}<f(x)<L+{\frac {L-M}{5}}{\overset {(1)}{<}}M-{\frac {L-M}{5}}<g(x)<M+{\frac {L-M}{5}}$, ומטרנזיטיביות היחס $<$ נקבל שמתקיים $f(x)<g(x)$ (1) כיוון שהנחנו שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)<{\underset {x\to a}{\lim }}g(x)$, כלומר $L<M$. $\blacksquare$ 3. נסמן ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)={\underset {x\to a}{\lim }}h(x)=L$, נשתמש בהגדרת היינה לגבול של פונקציה בנקודה. תהי $x_{n}$ סדרה המקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$, לכן לפי ההנחה מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})={\underset {n\to \infty }{\lim }}h(x_{n})=L$, ולפי ההנחה שלנו, קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $f(x_{n})\leq g(x_{n})\leq h(x_{n})$, ולכן לפי משפט הסנדוויץ' לסדרות, מתקייים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}g(x_{n})=L$, ולכן לפי הגדרת היינה מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)={\underset {x\to a}{\lim }}g(x)={\underset {x\to a}{\lim }}h(x)$.

גבולות חד-צדדיים

הגדרה: גבולות חד-צדדיים של פונקציה תהי $f$ פונקציה נאמר ש$L$ הוא הגבול מימין של $f$ ב$a$, ונסמן ${\underset {x\to a^{+}}{\lim }}f(x)=L$, אם לכל $\epsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $a<x<a+\delta$ מתקיים $|f(x)-L|<\epsilon$, ונאמר ש$L$ הוא הגבול משמאל של $f$ ב$a$, ונסמן ${\underset {x\to a^{-}}{\lim }}f(x)=L$, אם לכל $\epsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $a-\delta <x<a$ מתקיים $|f(x)-L|<\epsilon$

.

הגדרה: הגדרת הגבולות החד-צדדיים לפי היינה עבור פונקציה $f$ שמוגדרת בסביבה הימנית של $a$, נאמר שמתקיים ${\underset {x\to a^{+}}{\lim }}f(x)=L$ אם ורק אם לכל סדרה $x_{n}$ המקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$ וגם $x_{n}>a$ לכל $n$, אז ${\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})=L$, ונאמר שמתקיים ${\underset {x\to a^{-}}{\lim }}f(x)=L$ אם ורק אם לכל סדרה $x_{n}$ המקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$ וגם $x_{n}<a$ לכל $n$, אז ${\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})=L$.

משפט: תהי $f$ פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של $a$, אז מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=L$ אם ורק אם הגבולות הח-צדדיים שלה קיימים ושווים, כלומר ${\underset {x\to a^{+}}{\lim }}f(x)={\underset {x\to a^{-}}{\lim }}f(x)=L$ הוכחה: תהי $f$ פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של $a$, נוכיח תחילה את הכיוון הראשון. נניח שהגבולות החד=צדדיים קיימים ושווים זה לזה, כלומר ${\underset {x\to a^{+}}{\lim }}f(x)={\underset {x\to a^{-}}{\lim }}f(x)=L$. יהי $\epsilon >0$, לכן לפי ההנחה שקיים הגבול הימני, קיים $\delta _{0}>0$ כך שלכל $L<x<L+\delta _{0}$ מתקיים $|f(x)-L|<\epsilon$, ולפי ההנחה שקיים הגבול השמאלי, קיים $\delta _{1}>0$ כך שלכל $L-\delta _{1}<x<L$ מתקיים $|f(x)-L|<\epsilon$, נבחר $\delta =\min(\delta _{0},\delta _{1})$, לכן לכל $|x-a|<\delta$ מתקיים $|f(x)-L|<\epsilon$, וזו בדיוק הגדרת הגבול לפי קושי, לכן ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=L$. בכיוון השני, נניח שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=L$, ונוכיח שהגבולות החד-צדדיים קיימים גם הם, ושווים זה לזה. לפי ההנחה שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=L$, לכל $\epsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $L-\delta <x<L+\delta$ מתקיים $|f(x)-L|<\epsilon$, אבל כיוון שזה מתקיים לכל $L-\delta <x<L+\delta$, זה בוודאי יתקיים גם לכל $L<x<L+\delta$, וגם לכל $L<x<L+\delta$, וזו הגדרת הגבול החד-צדדי של פונקציה בנקודה, ולכן הגבולות החד-צדדיים קיימים ושווים זה לזה, כלומר ${\underset {x\to a^{+}}{\lim }}f(x)={\underset {x\to a^{-}}{\lim }}f(x)=L$. $\blacksquare$.

גבול אינסופי בנקודה

הגדרה: גבול אינסופי של פונקציה בנקודה תהי $f$ פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של $a$, נאמר שהפונקציה שואפת לאינסוף כאשר איקס שואף ל$a$, אם לכל $M$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)>M$, ונאמר שהפונקציה שואפת למינוס אינסוף כאשר איקס שואף ל$a$, אם לכל $M$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)<M$. הערה: קיימת הגדרה גם לגבולות חד-צדדיים אינסופיים בנקודה, והיא זהה לאחת שהגדרתי מקודם. דוגמא: נוכיח שמתקיים ${\underset {x\to 0}{\lim }}{\frac {1}{x}}=\infty$. יהי $M\in \mathbb {R}$, נבחר $\delta ={\frac {1}{M}}$, ולכל $|x-0|=|x|{\overset {(1)}{=}}x<\delta$, מתקיים $x<\delta \implies {\frac {1}{x}}>{\frac {1}{\delta }}=M$,ולכן מטרנזיטיביות היחס $<$ ${\frac {1}{x}}>M$. 1. כיוון שאנחנו מדברים על שאיפה לאינסוף נוכל לדבר על איקסים חיוביים, אם מתקיים $M<0$, נוכל לבחור $\delta =-M>0$, ולכן לכל $|x-0|=|x|=-x<\delta$, מתקיים $-x<\delta \implies x>-\delta =M$, ולכן מטרנזיטיביות היחס $<$ ${\frac {1}{x}}>M$.

הגדרה: גבול אינסופי בנקודה לפי היינה תהי $f$ פונקציה, אז מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=\infty$ אם לכל סדרה $x_{n}$ המקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$ מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})=\infty$. הערה: קיימת הגדרה גם לגבולות חד-צדדיים אינסופיים בנקודה לפי היינה, והם זהים לאלו שהגדרתי מקודם.

אריתמטיקה של גבולות אינסופיים בנקודה

משפט: אריתמטיקה של גבולות אינסופיים בנקודה תהיו $f,g$ פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של $a$, אז מתקיים: אם ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=\infty$ וגם ${\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=\infty$ אז ${\underset {x\to a}{\lim }}(f(x)+g(x))=\infty$. אם ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=\infty$ וגם ${\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=M\in \mathbb {R}$ אז ${\underset {x\to a}{\lim }}(f(x)+g(x))=\infty$. אם ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=\infty$ וגם ${\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=\infty$ אז ${\underset {x\to a}{\lim }}(f(x)\cdot g(x))=\infty$. אם ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=\infty$ וגם ${\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=M\in \mathbb {R}$ אז ${\underset {x\to a}{\lim }}(f(x)\cdot g(x))=\infty$. אם ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=\infty$ אז ${\underset {x\to a}{\lim }}{\frac {1}{f(x)}}=0$. אם ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=0$ וגם $f(x)>0$ בסביבה נקובה של $a$, אז ${\underset {x\to a}{\lim }}{\frac {1}{f(x)}}=\infty$, ואם ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=0$ וגם $f(x)<0$ בסביבה נקובה של $a$, אז ${\underset {x\to a}{\lim }}{\frac {1}{f(x)}}=-\infty$ ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=\infty$ אם ורק אם ${\underset {x\to a}{\lim }}-f(x)=-\infty$. הוכחה: הוכחת המשפט נובעת בקלות מהגדרת היינה לגבול אינסופי בנקודה, להלן: תהיו $f,g$ פונקציות. נניח שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=\infty$ וגם ${\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=\infty$, ותהי סדרה $x_{n}$ המקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות(שכבר הוכחנו) מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}(f(x_{n})+g(x_{n}))={\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})+{\underset {n\to \infty }{\lim }}g(x_{n})=\infty$, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}(f(x)+g(x))=\infty$. $\blacksquare$ נניח שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=\infty$ וגם ${\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=M\in \mathbb {R}$, תהי סדרה $x_{n}$ המקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$ וסדרה $y_{n}$ המקיימת \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}(f(x_{n})+g(y_{n}))={\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})+{\underset {n\to \infty }{\lim }}g(y_{n})=\infty$, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}(f(x)+g(x))=\infty$. $\blacksquare$ נניח שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=\infty$ וגם ${\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=\infty$, תהי סדרה $x_{n}$ המקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}(f(x_{n})\cdot g(x_{n}))={\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})\cdot {\underset {n\to \infty }{\lim }}g(x_{n})=\infty$, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}(f(x)\cdot g(x))=\infty$. $\blacksquare$ נניח שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=\infty$ וגם ${\underset {x\to a}{\lim }}g(x)=M\in \mathbb {R}$, תהי סדרה $x_{n}$ המקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$ וסדרה $y_{n}$ המקיימת \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}(f(x_{n})\cdot g(y_{n}))={\underset {n\to \infty }{\lim }}f(x_{n})\cdot {\underset {n\to \infty }{\lim }}g(y_{n})=\infty$, ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}(f(x)\cdot g(x))=\infty$. $\blacksquare$ נניח שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=\infty$, תהי סדרה $x_{n}$ המקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}{\frac {1}{f(x_{n})}}=0$,ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}{\frac {1}{f(x)}}=0$. $<math>\blacksquare$ נוכיח את המשפט למקרה שבו $f(x)>0$, בסביבה נקובה של $a$, ההוכחה למקרה שבו $f(x)<0$ בסביבה נקובה של $a$ אנלוגית לחלוטין. נניח שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=0$, תהי סדרה $x_{n}$ המקיימת ${\underset {n\to \infty }{\lim }}x_{n}=a$, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}{\frac {1}{f(x_{n})}}=\infty$,ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}{\frac {1}{f(x)}}=\infty$. $\blacksquare$ בכיוון הראשון נניח שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=\infty$, לכן לכל $M\in \mathbb {R}$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)>M$, לכן לכל $N\in \mathbb {R}$, נבחר $M=-N$, וכיוון שמתקיים $f(x)>M=-N$, כלומר $f(x)>-N$, אזי $-f(x)<N$ ולכן לפי הגדרת גבול אינסופי בנקודה מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}-f(x)=-\infty$. $\blacksquare$ בכיוון השני נניח שמתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}f(x)=-\infty$, לכן לכל $M\in \mathbb {R}$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $|x-a|<\delta$ מתקיים $f(x)<M$, לכן לכל $N\in \mathbb {R}$, נבחר $M=-N$, וכיוון שמתקיים $-f(x)<M=-N$, כלומר $-f(x)<-N$, אזי $f(x)>N$ ולכן לפי הגדרת גבול אינסופי בנקודה מתקיים ${\underset {x\to a}{\lim }}-f(x)=\infty$. $\blacksquare$

גבול סופי באינסוף, וגבול אינסופי באינסוף

הגדרה: גבול סופי באינסוף תהי $f$ פונקציה המוגדרת בקטע אינסופי מהצורה $(M,\infty )$, נאמר ש$f$ שואפת ל$L\in \mathbb {R}$ כאשר $x$ שואף ל$a$,ונסמן ${\underset {x\to \infty }{\lim }}f(x)=L$ אם לכל $\epsilon >0$ קיים $M$ כך שלכל $x>M$ מתקיים $|f(x)-L|<\epsilon$.

הגדרה: גבול אינסופי באינסוף תהי $f$ פונקציה המוגדרת בקטע אינסופי מהצורה $(M,\infty )$,נאמר ש$f$ שואפת לאינסוף כאשר $x$ שואף לאינסוף, ונסמן ${\underset {x\to \infty }{\lim }}f(x)=\infty$ אם לכל $M$ קיים $N$ כך שלכל $x>N$ מתקיים $f(x)>M$.