גרסה מ־15:02, 6 באוקטובר 2021

מספרים

שלמים

החבורה עליה מדובר היא החבורה $\ (\mathbb {Z} ,+)$ כאשר איבר היחידה הוא $\ 0$ והחיבור הוא החיבור המוכר לכולנו של חיבור שלמים. ההוכחה שזו אכן חבורה נובעת מההגדרה של החיבור על השלמים והאקסיומות של פיאנו, לא נזכיר אותה בפרק זה.

רציונאלים

החבורה $(\mathbb {Q} ,+)$ עם איבר היחידה $0$ .

ממשיים

החבורה $(\mathbb {R} ,+)$ עם איבר היחידה $0$ .

שלמים מודלו n

יהו $a,n\in \mathbb {N}$ . נחלק את $a$ ב $n$ , ואת השארית נסמן ב $a_{\mathrm {mod} \ n}$ . לכל $a,b\in \mathbb {N}$ נסמן $a+_{n}b=(a+b)_{\mathrm {mod} \ n}$ . לכל $n\in \mathbb {N}$ נסמן $\mathbb {Z} _{n}=\{x\in \mathbb {N} |x\leq n\}=\{0,\dots ,n-1\}$ .

החבורה $(\mathbb {Z} _{n},+_{n})$ עם איבר היחידה $0$ נקראת החבורה מודולו n.

פונקציות

חבורת התמורות על קבוצה כלשהי (חבורת הסימטריה)

תהי $X$ קבוצה. נסמן ב $S_{X}$ את קבוצת הפונקציות $f:X\to X$ החד-חד-ערכיות ועל.

החבורה $(S_{X},\circ )$ עם איבר היחידה $I$ נקראת חבורת הסימטריה על $X$ .

חבורת התמורות על קבוצה סופית

אם $X$ קבוצה סופית שמספר איבריה $|X|=n$ , אז ניתן להראות באינדוקציה כי $|S_{X}|=n!$ . את חבורת הסימטריה על הקבוצה $\mathbb {Z} _{n}$ נהוג לסמן $S_{n}$ .

חבורת התמורות הזוגיות

גיאומטריה

החבורה הדיאדרלית

חבורות ליניאריות

החבורות הליניאריות הכלליות

החבורה האורתוגנלית

החבורה הליניארית המיוחדת

החבורה האוניטרית

הפרק הקודם:
תכונות בסיסיות

חבורות חשובות

הפרק הבא:
תת-חבורות

@@ שורה 4: / שורה 4: @@
 החבורה עליה מדובר היא החבורה <math>\ (\mathbb{Z},+) </math> כאשר איבר היחידה הוא <math>\ 0 </math> והחיבור הוא החיבור המוכר לכולנו של חיבור שלמים. ההוכחה שזו אכן חבורה נובעת מההגדרה של החיבור על השלמים והאקסיומות של פיאנו, לא נזכיר אותה בפרק זה.
 ==רציונאלים==
+החבורה <math>(\Q,+)</math> עם איבר היחידה <math>0</math>.
 ==ממשיים==
+החבורה <math>(\R,+)</math> עם איבר היחידה <math>0</math>.
 ==שלמים מודלו n==
+יהו <math>a,n\in\N</math>. נחלק את <math>a</math> ב<math>n</math>, ואת השארית נסמן ב<math>a_{\mathrm{mod}\  n}</math>. לכל <math>a,b\in\N</math> נסמן <math>a+_nb=(a+b)_{\mathrm{mod}\ n}</math>. לכל <math>n\in\N</math> נסמן <math>\Z_n=\{x\in\N|x\le n\}=\{0,\dots,n-1\}</math>.
+החבורה <math>(\Z_n,+_n)</math> עם איבר היחידה <math>0</math> נקראת '''החבורה מודולו n'''.
 =פונקציות=
 ==חבורת התמורות על קבוצה כלשהי (חבורת הסימטריה)==
+תהי <math>X</math> קבוצה. נסמן ב<math>S_X</math> את קבוצת הפונקציות <math>f:X\to X</math> החד-חד-ערכיות ועל.
+החבורה <math>(S_X,\circ)</math> עם איבר היחידה <math>I</math> נקראת '''חבורת הסימטריה על <math>X</math>'''.
 ==חבורת התמורות על קבוצה סופית==
+אם <math>X</math> קבוצה סופית שמספר איבריה <math>|X|=n</math>, אז ניתן להראות באינדוקציה כי <math>|S_X|=n!</math>. את חבורת הסימטריה על הקבוצה <math>\Z_n</math> נהוג לסמן <math>S_n</math>.
 ==חבורת התמורות הזוגיות==