מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/מרובע

משפחת המרובעים

הגדרה

משפחת המרובעים כוללת בתוכה מצולעים בעלי ארבעה צלעות ועל כן, גם ארבע זוויות וארבע קודקודים. סכום הזוויות במרובע שווה ל360°.

המשפחה כוללת את המצולעים הבאים :

1. דלתון
2. טרפז
3. מקבלית
4. מעוין
5. מלבן
6. ריבוע

הגדרות

• כל שתי צלעות שלא נחתכות באחד מהקודקודים נקראות צלעות נגדיות.
• כל שתי צלעות שנחתכות באחד מהקודקודים נקראות צלעות סמוכות.
• בדומה לכך, זוויות (כלומר, קודקודים) שיש להם קרן משותפת (והיא אחת הצלעות) נקראים זוויות סמוכות וזוויות שאינן ליד אותה צלע נקראות זוויות נגדיות.

הטרפז

טרפז הוא מרובע ובו זוג אחד ויחיד של צלעות נגדיות מקבילות. הצלעות הנגדיות המקבילות נקראות בסיסים, והצלעות הנגדיות שאינן מקבילות נקראות שוקיים.

קטע האמצעים בטרפז

בדומה למשולש, גם בטרפז יש קטע אמצעים. קטע האמצעים הוא הקטע העובר בין שני אמצעי השוקיים. קטע האמצעים מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם. קטע בטרפז החוצה שוק אחת ומקביל לאחת הבסיסים מתלכד עם קטע האמצעים. קטע בטרפז המקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם מתלכד עם קטע האמצעים.

טרפז שווה שוקיים

טרפז שווה שוקיים, כמו שמרמז שמו, הוא טרפז ששוקיו שוות.

תכונות

1. בטרפז שווה שוקיים, הזוויות שליד אותו בסיס הן שוות.
2. בטרפז שווה שוקיים, האלכסונים שווים.
3. בטרפז שווה שוקיים, השוקיים שוות.

תכונות שאם מרובע מקיים אז הוא טרפז שווה שוקיים

1. טרפז שאלכסוניו שווים הוא טרפז שווה שוקיים.
2. טרפז שבו זוויות ליד אותו בסיס הן שוות הוא טרפז שווה שוקיים.
3. טרפז ששוקיו שוות הוא טרפז שווה שוקיים.

דלתון

הדלתון הוא מרובע שבו שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות שוות. הזוויות שבין הצלעות הסמוכות השוות נקראות זוויות ראש והזוויות שבין הצלעות הסמוכות שאינן שוות נקראות זוויות בסיס. האלכסון העובר בין זוויות הראש נקרא אלכסון ראשי והאלכסון העובר בין זוויות הבסיס נקרא אלכסון משני.

תכונות

1. בדלתון, האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו.
2. בדלתון, האלכסון הראשי חוצה את זוויות הראש.

תכונות שאם מרובע מקיים הוא דלתון

1. מרובע שבו אלכסון אחד חוצה את האלכסון האחר ומאונך לו, הוא דלתון.
2. מרובע שבו שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות שוות הוא דלתון.
3. מרובע שבו אלכסון חוצה את שתי הזוויות שבהן הוא עובר הוא דלתון.

המקבילית

מקבילית היא מרובע שבה כל שתי צלעות נגדיות הן מקבילות. מקבילית אינה טרפז

תכונות

1. זוויות נגדיות שוות במקבילית.
2. צלעות נגדיות שוות במקבילית.
3. צלעות נגדיות מקבילות במקבילית.
4. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.

תכונות שאם מרובע מקיים אז הוא מקבילית

1. מרובע שבו כל שתי זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
2. מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית.
3. מרובע שבו זוג של צלעות נגדיות, שוות ומקבילות הוא מקבילית.
4. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.