חשבון אינפיניטסימלי/סדרות/סדרות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף
מאין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
=סדרות חסומות= |
=סדרות חסומות= |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
===דוגמאות=== |
===דוגמאות=== |
||
* |
*נסתכל על הסדרה <math>1,\frac12,\frac13,\frac14,\dots</math> . קל לראות (וכן להוכיח) שאיברי הסדרה הזו תמיד קטנים או שווים ל- <math>1</math> ותמיד גדולים מ- <math>0</math> (בכלל, יותר גדולים מכל מספר אי-חיובי כלשהו). |
||
* |
*אברי הסדרה <math>\left\{1+\frac{1}{n^2}\right\}_{n=1}^\infty</math> תמיד גדולים או שווים ל- <math>1</math> ותמיד תמיד קטנים או שווים מ- <math>2</math> . |
||
באופן פורמלי, אלו ההגדרות של סדרות חסומות: |
באופן פורמלי, אלו ההגדרות של סדרות חסומות: |
||
{{הגדרה|מספר=1|שם=סדרה חסומה מלעיל|תוכן= |
{{הגדרה|מספר=1|שם=סדרה חסומה מלעיל|תוכן= |
||
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה מלעיל (או חסומה מלמעלה) אם קיים <math>M |
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה מלעיל (או חסומה מלמעלה) אם קיים <math>M\in\R</math> כך שלכל <math>n\in\N</math> מתקיים: <math>a_n < M</math> .{{ש}} |
||
במקרה זה <math> |
במקרה זה <math>M</math> יקרא חסם מלעיל (או חסם מלמעלה) של <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> . |
||
}} |
}} |
||
לפי ההגדרה הזו, נוכל לומר |
לפי ההגדרה הזו, נוכל לומר שבדוגמא הראשונה 1 הוא חסם מלעיל של הסדרה. |
||
{{הגדרה|מספר=2|שם=סדרה חסומה מלרע|תוכן= |
{{הגדרה|מספר=2|שם=סדרה חסומה מלרע|תוכן= |
||
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה מלרע (או חסומה מלמטה) אם קיים <math>M |
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה מלרע (או חסומה מלמטה) אם קיים <math>M\in\R</math> כך שלכל <math>n\in\N</math> מתקיים <math>a_n>M</math> .{{ש}} |
||
במקרה זה נאמר ש <math>M</math> הוא חסם מלרע (או חסם מלמטה) של הסדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math>. |
במקרה זה נאמר ש- <math>M</math> הוא חסם מלרע (או חסם מלמטה) של הסדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> . |
||
}} |
}} |
||
{{הגדרה|מספר=3|שם=סדרה חסומה|תוכן= |
{{הגדרה|מספר=3|שם=סדרה חסומה|תוכן= |
||
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה, אם היא חסומה גם מלעיל וגם מלרע. |
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה, אם היא חסומה גם מלעיל וגם מלרע.}} |
||
==משפטים== |
==משפטים== |
||
{{משפט|מספר=1|שם=סדרה חסומה|תוכן= |
{{משפט|מספר=1|שם=סדרה חסומה|תוכן= |
||
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> חסומה אם ורק אם קיים <math>M |
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> חסומה אם ורק אם קיים <math>M\in\R</math> כך שלכל <math>n\in\N</math> מתקיים <math>|a_n|<M</math> .}} |
||
הוכחה זו מאוד פשוטה ולכן רצוי שהקורא ינסה לעשות אותה בעצמו ורק אם יתקשה עליו להסתכל בהוכחה למטה. |
הוכחה זו מאוד פשוטה ולכן רצוי שהקורא ינסה לעשות אותה בעצמו ורק אם יתקשה עליו להסתכל בהוכחה למטה. |
||
{{הוכחה| |
{{הוכחה| |
||
<math>(\Leftarrow)</math> תהי <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה חסומה. לפי ההגדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> חסומה מלעיל וחסומה מלרע. לפי ההגדרה של חסימות מלעיל, קיים <math>M_1 |
<math>(\Leftarrow)</math> תהי <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה חסומה. לפי ההגדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> חסומה מלעיל וחסומה מלרע. לפי ההגדרה של חסימות מלעיל, קיים <math>M_1\in\R</math> כך שלכל <math>n\in\N</math> מתקיים: |
||
<math>a_n |
<math>a_n<M_1</math> |
||
<math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> חסומה מלרע לכן, לפי ההגדרה, קיים <math>M_2 |
<math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> חסומה מלרע לכן, לפי ההגדרה, קיים <math>M_2\in\R</math> כך שלכל <math>n\in\N</math> מתקיים: |
||
<math>a_n |
<math>a_n>M_2</math> |
||
כעת, נבחר: |
כעת, נבחר: |
||
<math>M = \max\{M_1 |
<math>M = \max\{M_1,-M_2\}</math> |
||
מבחירה זו נקבל: <math>M |
מבחירה זו נקבל: <math>M>M_1</math> וגם <math>M>-M_2</math> לכן, <math>-M<M_2</math> וע"י שימוש בכלל הטרנזיטיביות נקבל: |
||
וע"י שימוש בכלל הטרנזיטיביות נקבל: |
|||
<math> |
<math> |
גרסה מ־21:33, 2 בפברואר 2016
סדרות חסומות
ישנן סוגים רבים של סדרות שניתן לחשוב עליהן, אך בפרק זה אנחנו נשים דגש מיוחד בתכונות של סדרות מסוימות, סדרות שכל אבריהן גדולים או קטנים ממספרים ממשיים כלשהם ונשים לב לתכונות המיוחדות שלהן. אך ראשית, מספר דוגמאות.
דוגמאות
- נסתכל על הסדרה . קל לראות (וכן להוכיח) שאיברי הסדרה הזו תמיד קטנים או שווים ל- ותמיד גדולים מ- (בכלל, יותר גדולים מכל מספר אי-חיובי כלשהו).
- אברי הסדרה תמיד גדולים או שווים ל- ותמיד תמיד קטנים או שווים מ- .
באופן פורמלי, אלו ההגדרות של סדרות חסומות:
הגדרה 1: סדרה חסומה מלעיל סדרה תיקרא חסומה מלעיל (או חסומה מלמעלה) אם קיים כך שלכל מתקיים: . |
לפי ההגדרה הזו, נוכל לומר שבדוגמא הראשונה 1 הוא חסם מלעיל של הסדרה.
הגדרה 2: סדרה חסומה מלרע סדרה תיקרא חסומה מלרע (או חסומה מלמטה) אם קיים כך שלכל מתקיים . |
הגדרה 3: סדרה חסומה סדרה תיקרא חסומה, אם היא חסומה גם מלעיל וגם מלרע. |
משפטים
משפט 1: סדרה חסומה סדרה חסומה אם ורק אם קיים כך שלכל מתקיים . |
הוכחה זו מאוד פשוטה ולכן רצוי שהקורא ינסה לעשות אותה בעצמו ורק אם יתקשה עליו להסתכל בהוכחה למטה.
הוכחה:
תהי סדרה חסומה. לפי ההגדרה חסומה מלעיל וחסומה מלרע. לפי ההגדרה של חסימות מלעיל, קיים כך שלכל מתקיים:
חסומה מלרע לכן, לפי ההגדרה, קיים כך שלכל מתקיים:
כעת, נבחר: מבחירה זו נקבל: וגם לכן, וע"י שימוש בכלל הטרנזיטיביות נקבל:
כיוון זה הוא טריוויאלי ונובע ישירות מההגדרה של חסימות מלעיל ומלרע.