חשבון אינפיניטסימלי/סדרות/סדרות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף
מ הסרת קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי; הוספת קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר) באמצעות HotCat |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 4: | שורה 4: | ||
===דוגמאות=== |
===דוגמאות=== |
||
⚫ | |||
* נסתכל על הסדרה |
|||
⚫ | |||
<math> 1, \frac{1}{2} , \frac {1}{3},\frac{1}{4}... </math> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
באופן פורמלי, אלו ההגדרות של סדרות חסומות: |
באופן פורמלי, אלו ההגדרות של סדרות חסומות: |
||
{{הגדרה|מספר=1|שם=סדרה חסומה מלעיל|תוכן= |
{{הגדרה|מספר=1|שם=סדרה חסומה מלעיל|תוכן= |
||
סדרה <math> |
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה מלעיל (או חסומה מלמעלה) אם קיים <math>M \in \mathbb{R}</math> כך שלכל <math> n\in\mathbb{N} </math> מתקיים: <math>a_n < M</math>.{{ש}} |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
כך שלכל <math> n\in\mathbb{N} </math> מתקיים: <math> a_n < M </math>. |
|||
⚫ | |||
}} |
}} |
||
לפי ההגדרה הזו, נוכל לומר שבדוגמה הראשונה 1 הוא חסם מלעיל של הסדרה. |
לפי ההגדרה הזו, נוכל לומר שבדוגמה הראשונה 1 הוא חסם מלעיל של הסדרה. |
||
{{הגדרה|מספר=2|שם=סדרה חסומה מלרע|תוכן= |
{{הגדרה|מספר=2|שם=סדרה חסומה מלרע|תוכן= |
||
סדרה <math> |
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה מלרע (או חסומה מלמטה) אם קיים <math>M \in \mathbb{R}</math> כך שלכל <math>n \in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>a_n > M</math>.{{ש}} |
||
במקרה זה נאמר ש <math>M</math> הוא חסם מלרע (או חסם מלמטה) של הסדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math>. |
|||
}} |
}} |
||
{{הגדרה|מספר=3|שם=סדרה חסומה|תוכן= |
{{הגדרה|מספר=3|שם=סדרה חסומה|תוכן= |
||
סדרה <math> |
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> תיקרא חסומה, אם היא חסומה גם מלעיל וגם מלרע. }} |
||
==משפטים== |
==משפטים== |
||
{{משפט|מספר=1|שם=סדרה חסומה|תוכן= |
{{משפט|מספר=1|שם=סדרה חסומה|תוכן= |
||
סדרה <math> |
סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> חסומה אם ורק אם קיים <math>M \in \mathbb{R}</math> כך שלכל <math>n \in \mathbb{N}</math> מתקיים <math>|a_n| < M</math>. }} |
||
הוכחה זו מאוד פשוטה ולכן רצוי שהקורא ינסה לעשות אותה בעצמו ורק אם יתקשה עליו להסתכל בהוכחה למטה. |
הוכחה זו מאוד פשוטה ולכן רצוי שהקורא ינסה לעשות אותה בעצמו ורק אם יתקשה עליו להסתכל בהוכחה למטה. |
||
{{הוכחה| |
{{הוכחה| |
||
⚫ | |||
<math> \left( \Leftarrow \right) </math> |
|||
⚫ | |||
<math> |
<math>a_n < M_1</math> |
||
<br/> |
|||
<math> |
<math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> חסומה מלרע לכן, לפי ההגדרה, קיים <math>M_2 \in \mathbb{R}</math> כך שלכל <math>n \in \mathbb{N}</math> מתקיים: |
||
<math> a_n > M_2 </math> |
|||
⚫ | |||
<br/> |
|||
כעת, נבחר: |
כעת, נבחר: |
||
<math> |
<math>M = \max\{M_1 , -M_2\}</math> |
||
מבחירה זו נקבל: <math> |
מבחירה זו נקבל: <math>M > M_1</math> וגם <math>M > -M_2</math> לכן, <math>-M < M_2</math> |
||
⚫ | |||
<math> {-M} < M_2 </math> |
|||
⚫ | |||
<math> |
<math> |
||
\begin{matrix} |
\begin{matrix}-M & < & M_2 & < & a_n & < & M_1 & < M \\ |
||
-M & < & M_2 & < & a_n & < & M_1 & < M \\ |
|||
\ & \ & \ & \ & \Downarrow \ & \ & \ & \\ |
\ & \ & \ & \ & \Downarrow \ & \ & \ & \\ |
||
\ & \ & \ & \ & \ |
\ & \ & \ & \ & \ |a_n| & < M & \ & \end{matrix} |
||
\end{matrix} |
|||
</math> |
</math> |
||
<br/> |
|||
⚫ | |||
<br/> |
|||
⚫ | |||
}} |
}} |
||
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]] |
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]] |
גרסה מ־04:53, 13 בדצמבר 2015
סדרות חסומות
ישנן סוגים רבים של סדרות שניתן לחשוב עליהן, אך בפרק זה אנחנו נשים דגש מיוחד בתכונות של סדרות מסוימות, סדרות שכל איבריהן גדולים או קטנים ממספרים ממשיים כלשהם ונשים לב לתכונות המיוחדות שלהן. אך ראשית, מספר דוגמאות.
דוגמאות
- נסתכל על הסדרה . קל לראות (וכן להוכיח) שאיברי הסדרה הזו תמיד קטנים או שווים ל- ותמיד גדולים מ- (בכלל, יותר גדולים מכל מספר אי-חיובי כלשהו).
- איברי הסדרה תמיד גדולים או שווים ל- ותמיד תמיד קטנים או שווים מ- .
באופן פורמלי, אלו ההגדרות של סדרות חסומות:
הגדרה 1: סדרה חסומה מלעיל סדרה תיקרא חסומה מלעיל (או חסומה מלמעלה) אם קיים כך שלכל מתקיים: . |
לפי ההגדרה הזו, נוכל לומר שבדוגמה הראשונה 1 הוא חסם מלעיל של הסדרה.
הגדרה 2: סדרה חסומה מלרע סדרה תיקרא חסומה מלרע (או חסומה מלמטה) אם קיים כך שלכל מתקיים . |
הגדרה 3: סדרה חסומה סדרה תיקרא חסומה, אם היא חסומה גם מלעיל וגם מלרע. |
משפטים
משפט 1: סדרה חסומה סדרה חסומה אם ורק אם קיים כך שלכל מתקיים . |
הוכחה זו מאוד פשוטה ולכן רצוי שהקורא ינסה לעשות אותה בעצמו ורק אם יתקשה עליו להסתכל בהוכחה למטה.
הוכחה:
תהי סדרה חסומה. לפי ההגדרה חסומה מלעיל וחסומה מלרע. לפי ההגדרה של חסימות מלעיל, קיים כך שלכל מתקיים:
חסומה מלרע לכן, לפי ההגדרה, קיים כך שלכל מתקיים:
כעת, נבחר: מבחירה זו נקבל: וגם לכן, וע"י שימוש בכלל הטרנזיטיביות נקבל:
כיוון זה הוא טריוויאלי ונובע ישירות מההגדרה של חסימות מלעיל ומלרע.