חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/הגדרת הנגזרת: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
YaGoo (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
== שיפוע של פונקציה לא לינארית ==
== שיפוע של פונקציה לא לינארית ==
עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: <math>m={y_2-y_1 \over x_2-x_1}</math>.
עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: <math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>.
<br>
<br>
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה.
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה.
<br />


==הגדרת הנגזרת==
==הגדרת הנגזרת==
שורה 9: שורה 8:


השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת:
השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת:
<math>m={f(x+\Delta x)-f(x) \over (x+\Delta x)-x}={f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}</math>
<math>m=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}</math>

ככל ש-<math>\Delta x</math> קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.{{ש}}
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.{{ש}}
<math>f'(x) =\lim _{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}}</math>

אם נסמן <math>h=\Delta x</math>, נקבל:{{ש}}{{ש}}
<math>f'(x) =\lim _{h \rightarrow 0}{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}}</math>


ככל ש-<math>\Delta x</math> קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.<br />
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.<br>
<math>f'\left( x \right) =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+\Delta x \right) -f\left( x \right) }{ \Delta x } } </math>
<br>
<br>אם נסמן <math>h=\Delta x</math>, נקבל:<br><br>
<math>f'\left( x \right) =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right) }{ h } } </math>
==דוגמא==
==דוגמא==
גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה: <math>y=x^2</math>:
גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה <math>f(x)=x^2</math>:
{{ש}}
<br>
<math>
<math>\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { { \left( x+\Delta x \right) }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ \Delta x } } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { 2x\Delta x+{ \Delta x }^{ 2 } }{ \Delta x } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { 2x\Delta x }{ \Delta x } } } +\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \frac { { \Delta x }^{ 2 } }{ \Delta x } } =\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ 2x } +\lim _{ \Delta x\rightarrow 0 }{ \Delta x } =2x+0=2x</math>
\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{2x\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{2x +\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{2x} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\Delta x} = 2x + 0 = 2x
</math>

גרסה מ־22:59, 21 בנובמבר 2015

שיפוע של פונקציה לא לינארית

עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: .
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה.

הגדרת הנגזרת

נכליל את הגדרת השיפוע עבור פונקציה כללית. תהי f פונקציה כלשהי, ו- הפרש שיעורי ה-X של שתי נקודות עליה.

השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת:

ככל ש- קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.

אם נסמן , נקבל:

דוגמא

גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה :