מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית

פונקציה ריבועית או פרבולה.

תבנית $y=ax^{2}+bx+c$ $a\neq 0$ $y=ax^{2}+bx+c$ הפונקציה מורכבת משלושה משתנים: קודקוד או מוקד (נקודת הקיצון). ישר הסימטריה או ישר מנחה - הישר המקביל לציר y ועובר דרך קודקוד הפרבולה כך שהוא מחלק את הפונקציה לשני חלקים שווים. שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה. ככל שערך המוחלט של המקדם $a$ גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר ערך C מבטא את נקודת החיתוך עם ציר y. ככל חיובי שערכו חיובי כך הפרבולה עולה במעלה ציר y ולהפך. ככל שערך ה-C שלילי יותר, כך הפרבולה יורדת בתחתית ציר y. כאשר b שלילי – הפרבולה זזה לכיוון ימין כאשר b חיובי – הפרבולה זזה לכיוון שמאל. תחום הגדרה ותנאים מקדמים $a\neq 0$ כנלמד בפרק חקירת פונקציה ריבועית, פונקציה ממעלה שנייה יכולה להיות תחפושת לפונקציה לינארית ולכן כדי חייבים לבדוק את מקדם $a$. הפונקציה הריבועית, כמו כל פולינום, מוגדרת לכל $x$. חיתוך עם הצירים חיתוך עם ציר $x$ בדיקה סוג הפרבולה ישרה (a>0) או הפוכה (a<0). נניח הפרבולה היא $y=X^{2}+6X+9$ היא פרבולה ישרה מפני שהמקדם של $X^{2}$ הוא חיובי (אחד) ולכן a>0. הצבה y=0 בפונקציה $0=X^{2}+6X+9$ מציאת ערכי X עבורם y=0 באמצעות פעולות פישוט שונות לפתירת משוואה ממעלה שנייה כגון: טרינום, פירוק לגורמים ועוד.במקרה שלנו נעזר בנוסחאת הכפל המקוצר $(x+3)^{2}=0$ ונקבל $x=-3$. שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך. ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה: "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה"). לפנינו הפרבולה : $y=X^{2}+6X+9$. איזה סוג של נקודות חיתוך דוגמא לשלושת המצבים בנושא חקירת משוואה ממעלה שנייה הועלה נושא "שלושת המצבים של המשוואה", כזכור שלושת המצבים הם : כאשר $\ \Delta >0$ יש שתי נקודות חיתוך. כאשר $\ \Delta =0$ יש נקודת חיתוך אחת (שימו לב, ישנם פעמים בהם שואלים : באילו ערכי X לפונקציה הבאה יש נקודת חיתוך אחת? – יש צורך גם לבדוק עבור פונקציה ממעלה ראשונה). כאשר $\ \Delta <0$ אין נקודות חיתוך. בכדי לגלות מתי לפונקציה יש שתי, נקודה או אין בכלל נקודות חיתוך עם ציר ה-X פתרנו את המשוואה $\Delta =b^{2}-4ac$. שימוש בדרך זו אינה יעילה כיוון שהיא רק מציינת בפנינו : האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה-X? כמה נקודות? דוגמא בכדי לגלות איזה סוג של נקודות חיתוך יש לה עם ציר ה-X, נעזר בדלתא. השלבים : הפונקציה : $y=X^{2}+6X+9$ נגלה את דלתא : $\Delta =6^{2}-4*9$ נפתח : $\Delta =36-36$ נצמצם : $\Delta =36-36=0$ המצב : $\ \Delta =0$, כלומר לפונקציה $y=X^{2}+6X+9$ יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-X. נקודה זו מצאנו בדרך של השוואה. חיתוך עם ציר $y$ הצבה X=0. פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים : חיתוך עם ציר Y - פתרון יחיד. אין חיתוך עם ציר Y - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=2. תחום שלילי וחיובי קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר כיתוב תמונה רשימת אי שיוויון על פי הדרישה : תחום חיובי - רשימה אי שיוויון ריבועי כך : $ax^{2}+bx+c>0$. תחום שלילי - רשימה אי שיוויון ריבועי כך : $ax^{2}+bx+c<0$. מציאת נקודות חיתוך עם ציר X. שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה") קביעת תחום - סימון התחום הנדרש : מעל ציר X - תחום חיובי. מתחת ציר X - תחום שלילי. נקדת הקיצון דרך א' כאשר הפרבולה היא מצורה $y=(x\pm b)^{2}+c$ קודקוד הפרבולה $(x_{c},c)$ ערך הנקודה שיעור X של קודקוד הפרבולה : $X={\frac {-b}{2a}}$.או הצבת y במוואת הפונקציה שיעור Y של קודקוד הפרבולה : $Y=c-{\frac {b^{2}}{4a}}$ או הצבת x במוואת הפונקציה קודקוד הפרבולה $(x_{c},c)$ סוג נקודת תחת מינמום - a>0. מקסימום - a<0. דרך ב' מציאת נגזרת הפרבולה ע"פ כללי הגזירה. השלבים : גזירה. מציאת סוג הנקודה ע"פ גזירה שנייה או טבלה (3 מספרים : הנקודה עצמה, נקודה לפני ונקודה אחרי). סימון על גרף מיקום. סימון מקסימום מינמום על הגרף. נקודות פיתול אין פונקציה עולה או יורדת כדי למצוא נקודות עליה וירידה יש למצוא את קודקוד הפרבולה שתי דרכים : ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון. פתרית משוואה : פרבולה ישרה - יורדת כאשר $X<{\frac {-b}{2a}}$ ועולה כאשר $X>{\frac {-b}{2a}}$. פרבולה הפוכה - יורדת כאשר $X>{\frac {-b}{2a}}$ ועולה כאשר $X<{\frac {-b}{2a}}$. אסימפטוטות אין