מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/משוואת הקו הישר: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־23:15, 10 ביוני 2015

פונקציה של קו ישר היא כל פונקציה מהצורה: $\ y=mx+n$ (לעיתים מסמנים $\ a$ במקום $\ m$ ו- $\ b$ במקום $\ n$ ). כאשר $\ m$ ו- $\ n$ הם מספרים (מקדמים) ידועים.

בפונקציה מסוג זה כל נקודות גרף הפונקציה, נמצאות על ישר אחד, ועל כן נקראת הפונקציה "פונקציה של קו ישר", או לעיתים "משוואת הישר" (שם נוסף הוא "פונקציה ממעלה ראשונה", שכן הx הוא בחזקת 1, וכן "פונקציה לינארית").

כל אחד מהמקדמים הידועים משפיע באופן אחר על גרף הפונקציה: $\ m$ הוא שיפוע הפונקציה ו- $\ n$ הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y.

נקודת החיתוך עם ציר ה-y - האיבר החופשי

ניתן לראות בפשטות כי האיבר n אינו תלוי בערכו של x, והוא ישאר קבוע, על כן הוא נקרא "האיבר החופשי". לאיבר זה תכונה מיוחדת אחת - כאשר נציב 0 במקום x בתבנית הפונקציה (דבר המסמל בעצם את נקודת החיתוך עם ציר הy), נקבל $\ y=n$ . כלומר, נקודת החיתוך עם ציר הy שווה לn.

n בעצם, לא משפיע על הצורה של הגרף (הזווית שלה), כי כפי שראינו, השיפוע הוא מה שמשפיע. אז מה n כן עושה ? פשוט מאוד - "מרים" (ומוריד במקרה והוא שלילי) את הישר למעלה ולמטה על ציר הy.

מציאת n בהינתן נקודה ושיפוע

במידה וידוע לנו שיפוע כלשהו, $\ m_{1}$ , של פונקציה כלשהי, שבה אנחנו יודעים נקודה אחת של אותה הפונקציה, $\ A(x_{1},y_{1})$ , קל מאוד למצוא את n.

אז איך עושים זאת? פשוט נציב את כל הידוע לנו בתבנית הפונקציה:

$\ y=ax+b$ ונקבל:
$\ y_{1}=m_{1}\cdot x_{1}+b$ מכאן פשוט לפתור את המשוואה:
$\ b=y_{1}-m_{1}\cdot x_{1}$ . זהו, מצאנו.

דוגמה

נתונה הפונקציה $\ y=5x+n$ (כלומר $m_{1}=5$ ), וידוע כי עליה נקודה כלשהי, $\ A(4,30)$ . מהי תמונת הפונקציה עבור המקור $\ x=7$ ?

פשוט וקל, נציב את ערכי הנקודה בתבנית הפוקנציה:

$\ 30=5\cdot 4+n$ . נפתור ונקבל:
$\ n=10$ . עכשיו נקבל את תבנית הפונקציה במלואה:
$\ y=5x+10$ . נציב את ערך ה-x שביקשו מאיתנו ונקבל את הפתרון:
$\ y=5\cdot 7+10=45$ . פתרנו!

מציאת n בהנתן 2 נקודות

השיטה הפשוטה ביותר, היא כמובן, להציב את ערכי 2 הנקודות בנוסחה למציאת השיפוע (או, אם נתונה זווית, להציבה בטגנס ולמצוא שיפוע) ואז למצוא את n בעזרת נקודה אחת מהשתיים והשיפוע שמצאנו.

שיטה נוספת, ארוכה במקצת, אך חוסכת את ידיעת הנוסחות בעל-פה היא הצבת 2 הנקודות בתבנית פונקצית ישר, ולקבל 2 משוואות ב2 נעלמים ממעלה ראשונה, אותן אנחנו יודעים לפתור. נניח ויש לנו 2 נקודות: $\ A(x_{1},y_{1})$ ו- $\ B(x_{2},y_{2})$ . המשוואות שנקבל יהיו: $\left\{{\begin{matrix}y_{1}&=&m\cdot x_{1}+n\\y_{2}&=&m\cdot x_{2}+n\end{matrix}}\right.$

כמובן שאם ברצוננו למצוא את n בלבד, אין צורך בפתירה מלאה של 2 המשוואות, אלא פתרון עד מציאת n בלבד, אך בדרך כלל מבקשים למצוא את כל הפונקציה.

נוסחה למציאת הישר

כדי למצוא משוואת ישר, משתמשים בדרך כלל בנוסחה: $\ y-y_{1}=m(x-x_{1})$

כדי להשתמש בנוסחה זאת, דרושים שיפוע ונקודה.

אם לא נתון השיפוע, ניתן לגלות אותו באמצעות דרכים אחרות:

אם נתונות שתי נקודות, אפשר על ידי הנוסחה ${y_{1}-y_{2} \over x_{1}-x_{2}}$
אם נתון ישר מקביל, יש להם אותו שיפוע, ואם נתון ישר מאונך, אז השיפועים מקיימים: $\ m_{1}\cdot m_{2}=-1$
אם נתונה הזווית $\ \alpha$ עם ציר ה-x, מתקיים: $\ \tan \alpha =m$

@@ שורה 14: / שורה 14: @@
 n בעצם, לא משפיע על הצורה של הגרף (הזווית שלה), כי כפי שראינו, השיפוע הוא מה שמשפיע. אז מה n כן עושה ? פשוט מאוד - "מרים" (ומוריד במקרה והוא שלילי) את הישר למעלה ולמטה על ציר הy.
-=== מציאת n בהנתן נקודה ושיפוע ===
+=== מציאת n בהינתן נקודה ושיפוע ===
 במידה וידוע לנו שיפוע כלשהו, <math> \ m_1</math>, של פונקציה כלשהי, שבה אנחנו יודעים נקודה אחת של אותה הפונקציה, <math> \ A(x_1, y_1)</math>, קל מאוד למצוא את n.
 אז איך עושים זאת? פשוט נציב את כל הידוע לנו בתבנית הפונקציה:
 *<math> \ y = ax + b</math> ונקבל:
-*<math> \ y_1 = ax_1 \cdot ax_1 + b</math> מכאן פשוט לפתור את המשוואה:
+*<math> \ y_1 = m_1 \cdot x_1 + b</math> מכאן פשוט לפתור את המשוואה:
-*<math> \ b = y_1 - ax_1 \cdot ax_1</math>. זהו, מצאנו.
+*<math> \ b = y_1 - m_1 \cdot x_1</math>. זהו, מצאנו.
 ==== דוגמה ====
-נתונה הפונקציה <math> \ y = 5x + n</math> וידוע כי עליה נקודה כלשהי, <math> \ A(5, 30)</math>. מהי תמונת הפונקציה עבור המקוור <math> \ x = 7</math>?
+נתונה הפונקציה <math> \ y = 5x + n</math> (כלומר <math> m_1 = 5 </math>), וידוע כי עליה נקודה כלשהי, <math> \ A(4, 30)</math>. מהי תמונת הפונקציה עבור המקור <math> \ x = 7</math>?
 פשוט וקל, נציב את ערכי הנקודה בתבנית הפוקנציה:
-* <math> \ 30 = 5 \cdot 5 + n</math>. נפתור ונקבל:
+* <math> \ 30 = 5 \cdot 4 + n</math>. נפתור ונקבל:
-* <math> \ n = 5</math>. עכשיו נקבל את תבנית הפונקציה במלואה:
+* <math> \ n = 10</math>. עכשיו נקבל את תבנית הפונקציה במלואה:
-* <math> \ y = 5x + 5</math>. נציב את ערך ה-x שביקשו מאיתנו ונקבל את הפתרון:
+* <math> \ y = 5x + 10</math>. נציב את ערך ה-x שביקשו מאיתנו ונקבל את הפתרון:
-* <math> \ y = 5 \cdot 7 + 5 = 40</math>. פתרנו!
+* <math> \ y = 5 \cdot 7 + 10 = 45</math>. פתרנו!
 === מציאת n בהנתן 2 נקודות ===